1、数 学 必修 人教A版新课标导学第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案观察下图中的AOB与AOB.这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？1异面直线(1)概念：不同在_平面内的两条直线叫做异面直线归纳总结 对定义可作如下理解：“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线，或者说找不到一个平面同时经过这两条直线“异面”的含义就是“不能共面”的意思定义中“任何”是不可缺少的关键词，不能误解为“不同在某一平面内”任何一个(2
2、)图示：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托2空间两条直线的位置关系(1)相交直线在同一平面内，_一个公共点(2)平行直线在同一平面内，_公共点(3)异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点有且只有 没有 3公理4文字语言平行于同一条直线的两条直线互相_图形语言符号语言直线 a、b、c、ab、bc_作用证明两条直线平行说明公理 4 表述的性质通常叫做空间平行线的_平行 ac 传递性 4等角定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_或_图形语言符号语言OAOA，OBOBAOBAOB或AOBAOB180作用证明两个角相等或互补相
3、等 互补 归纳总结 等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补初中的一些结论在空间中仍然成立：如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线但是，初中有的结论在空间中不成立：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行初中的结论在空间中成立的标准是已知条件能确定在同一个平面内，在空间中就成立，否则不成立5两条异面直线所成的角(夹角)(1)定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线aa、bb，我们把a与b所成的_(或_)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)归纳总结 在定义
4、中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a、b所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，是通过转化为相交直线所成的角来解决的锐角 直角(2)异面直线所成的角的范围：_.(3)两条异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是_，那么就说这两条直线互相垂直两条互相垂直的异面直线a、b，记作a_b.归纳总结 两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直090 直角 1在三棱锥SABC中，与SA是异面直线的是()ASB BSC CBC DAB解析 如图所示，SB、SC、AB、AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异
5、面直线C 2已知空间两个角，且与的两边对应平行，60，则为()A60 B120C30 D60或120解析 与的两边对应平行，与相等或互补，故为60或120.D 3空间四边形 ABCD 中，M、N 分别为 AB、CD 的中点，则 MN_12(ACBD)(填“”“”“”“”“”符号)MN，MN12(ACBD)4如图，AA是长方体ABCDABCD的一条棱，那么长方体中与AA平行的棱共有_条解析 四边形ABBA、ADDA均为长方形，AABB，AADD.又四边形BCCB为长方形，BBCC，AACC.故与AA平行的棱共有3条，它们分别是BB，CC，DD.3 互动探究学案已知a、b、c是空间三条直线，下面给
6、出四个结论：如果ab，bc，那么ac；如果a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c也是异面直线；如果a、b是相交直线，b、c是相交直线，那么a、c也是相交直线；如果a、b共面，b、c共面，那么a、c也共面在上述结论中正确的个数是()A0 B1 C2 D3命题方向1 空间两条直线位置关系的判定A 典例 1解析 a与c可能相交，也可能异面；a与c可能相交，也可能平行；a与c可能异面，也可能平行；a与c可能不在一个平面内故均不正确规律方法 判断空间中两条直线位置关系的诀窍：(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系特别关注异面直线(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会
7、举例说明两条直线的位置关系跟踪练习1分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A一定平行 B一定相交C一定异面 D相交或异面解析 画出图形，得到结论如图，分别与异面直线a、b平行的两条直线c、d是相交关系；如图，分别与异面直线a、b平行的两条直线c、d是异面关系综上可知，应选D.D 如图，E、F分别是长方体A1B1C1D1ABCD的棱A1A、C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形思路分析 平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形命题方向2 平行线的传递性典例 2解析 设 Q 是 DD1 的中点，连接 EQ、QC1，E 是 AA1 的
8、中点，EQA1D1又在矩形 A1B1C1D1 中 A1D1B1C1，EQB1C1(平行公理)，四边形 EQC1B1 为平行四边形，B1EC1Q，又Q、F 是矩形 DD1C1C 的两边中点，QDC1F，四边形 DQC1F 为平行四边形，C1QDF，又B1EC1Q，B1EDF，四边形 B1EDF 为平行四边形跟踪练习2已知正方体ABCDABCD中，M、N分别为CD、AD的中点求证：四边形MNAC是梯形解析 如图，连接 AC，M、N 为 CD、AD 的中点，MN12AC.由正方体性质可知 ACAC，MN12AC，四边形 MNAC是梯形如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是
9、棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点求证：命题方向3 等角定理的应用典例 3(1)EFE1F1；(2)EA1FE1CF1.思路分析(1)EF12BD，E1F112B1D1 BDB1D1 EFE1F1(2)CF1A1E，A1FCE1 EA1FE1CF1解析(1)如图，连接 BD、B1D1，在ABD 中，因为 E、F 分别为 AB、AD的中点，所以 EF12BD.同理，E1F112B1D1.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BB1DD1，所以四边形 BB1D1D 为平行四边形，所以 BDB1D1，又 EF12BD，E1F112B1D1，所以 EFE1F1.(2)取 A1B1 的中点 M，连
10、接 F1M、BM，则 MF1B1C1.又 B1C1BC，所以 MF1BC，所以四边形 BMF1C 为平行四边形，所以 BMCF1.因为 A1M12A1B1，BE12AB，且 A1B1AB，所以 A1MBE，所以四边形 BMA1E 为平行四边形，所以 BMA1E，所以 CF1A1E.同理可证 A1FCE1.因为EA1F 与E1CF1 的两边分别对应平行，且方向都相反，所以EA1FE1CF1.规律方法 求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用公理4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点求证角相等：一
11、是用等角定理；二是用三角形全等或相似跟踪练习 3如图，已知线段 AA1、BB1、CC1 交于 O 点，且 OAOA1 OBOB1 OCOC1，求证：ABCA1B1C1.解析 AA1 与 BB1 交于点 O，且 OAOA1 OBOB1，A1B1AB，同理 A1C1AC，B1C1BC，又A1B1 和 AB，A1C1 和 AC 方向相反，BACB1A1C1，同理ABCA1B1C1，ABCA1B1C1.求异面直线所成的角，关键是通过平移直线，将异面直线所成角的问题化归为一个解三角形求内角的问题，通过解三角形求得结果转化与化归思想的应用典例 4 如图，P 是平面 ABC 外一点，PA4，BC2 5，D、
12、E 分别为PC 和 AB 的中点，且 DE3.求异面直线 PA 和 BC 所成角的大小思路分析 1.PA、BC移至同一个三角形中2找出PA和BC所成的角解析 如图，取 AC 中点 F，连接 DF、EF，在PAC 中，D 是 PC 中点，F 是 AC 中点，DFPA，同理可得 EFBC，DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成的角(或其补角)在DEF 中，DE3，又 DF12PA2，EF12BC 5，DE2DF2EF2.DFE90，即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90.规律方法 求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)找出(或作出)适合题设的角用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线；若异面
13、直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线(2)证明证明所作出的角等于要求的角(3)计算转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角(4)结论设由(3)所求得的角的大小为.若090，则为所求；若90180，则180为所求跟踪练习4四面体ABCD中，ABCD，AB与CD成30角，E、F分别是BC、AD的中点，求EF和AB所成的角解析 如图，取 BD 的中点 G，连接 EG、FG.E、F、G 分别是 BC、AD、BD 的中点，EG12CD，GF12AB，EGF(或EGF 的补角)为 AB 与 CD 所成的角，即EGF30或 150.A
14、BCD，EGGF，故由等腰EGF 知GFE75或 15.而由 FGAB 知，GFE 就是 EF 和 AB 所成的角从而 EF 和 AB 所成的角为 75或 15.已知ABBC，BCCD，DEAE，DEBC，且ABBCCD，异面直线AB与CD成60角，求异面直线AD与BC所成的角错解 连接AE，BE(如图所示)DEBC，BCCD，BCCD，四边形BCDE为正方形ABBC，ABBC，异面直线AB与CD成60角，ABE60，ABE是正三角形AEABBCDE，又DEAE，ADE是等腰直角三角形，ADE45，异面直线AD与BC所成角的度数为45.对异面直线所成的角概念不清致误典例 5错因分析 对异面直线
15、所成角的概念理解不准确，忽视了如图所示的情况，导致错误正解 同错解连接 AE，BE(如图所示)DEBC，BCCD，BCCD，四边形 BCDE 是正方形又 ABBC，ABBC，异面直线 AB 与 CD 成 60角，ABBE，ABE120.设 AB1，则 AE 3，DEAE，在 RtADE 中，ADE60，即异面直线 AD 与 BC 所成的角的度数为60.综上所述，异面直线 AD 与 BC 所成的角的度数为 60或 45.警示 异面直线所成的角是两条相交直线所成的两对对顶角中较小的那一对对顶角当由已知两条直线所成的角去推断两条相交直线所成的角时，依据等角定理两者可能相等或互补，所以我们应当考虑两种
16、情况规律方法 判定或证明两条直线异面的思路1既不平行也不相交的两条直线为异面直线2与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线3反证法：证明立体几何问题的一种重要方法证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的结论相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而证明原结论是正确的1如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b()A共面 B平行C异面 D平行或异面解析 直线a、b没有公共点时，a、b可能平行，也可能异面D 2在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BD和CD的中点，长方体的各棱中与EF平行的有()A1
17、条 B2条 C3条 D4条解析 如图所示 E、F分别为BD、CD的中点，EFBC，又BCB1C1，EFB1C1，同理，EFA1D1，EFAD.D 3空间四边形ABCD中，给出下列说法：直线AB与CD异面；对角线AC与BD相交；四条边不能都相等；四条边的中点组成一个平行四边形其中正确说法的个数是()A1个 B2个 C3个 D4个解析 由定义知正确；错误，否则A、B、C、D四点共面；不正确，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；正确，由平行四边形的判定定理可证B 4如图所示，若P是ABC所在平面外一点，PAPB，PNAB，N为垂足，M为AB的中点，求证：PN与MC为异面直线解析 方法一：PAPB，PNAB，N为垂足，M是AB的中点，点N与点M不重合 N平面ABC，P平面ABC，CM平面ABC，NCM，由异面直线的判定定理可知，直线PN与MC为异面直线方法二(反证法)：假设PN与MC不是异面直线，则存在一个平面，使得PN，MC，于是P，C，N，M.PAPB，PNAB，N为垂足，M是AB的中点，点M与点N不重合 M，N，直线MN.AMN，BMN，A，B，即A，B，C，P四点均在平面内，这与点P在平面ABC外相矛盾 假设不成立故PN与MC为异面直线课时作业学案