1、(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列求导结果正确的是( )A(ax2)12xB(2)3C(cos 60)sin 60 Dln(2x)解析：选B根据题意，依次分析选项：对于A，(ax2)a(x2)2x，故A错误；对于B，(2)(2x)2x3，故B正确；对于C，(cos 60)0，故C错误；对于D，ln(2x)(2x)，故D错误故选B.2(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1解析：选D
2、yaexln x1，切线的斜率ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.又切线方程为y2xb，即ae1，b1.3函数f(x)x2ln 2x的单调递减区间是()A. B.C.， D.，解析：选A因为f(x)2x，所以f(x)0等价于解得0x.4.已知函数f(x)的导函数f(x)a(xb)2c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()解析：选D由导函数图象可知，当x0时，函数f(x)递减，排除A、B；当0x0，函数f(x)递增因此，当x0时，f(x)取得极小值，故选D.5. 已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
3、函数f(x)在区间(1，)上是增函数；函数f(x)在区间(1,1)上无单调性；函数f(x)在x处取得极大值；函数f(x)在x1处取得极小值其中正确的说法的序号是()A BC D解析：选C由图象上可以发现，当x(1，)时，xf(x)0，于是f(x)0，故f(x)在区间(1，)上是增函数，故正确；当x(1,1)时，f(x)0，所以函数f(x)在区间(1,1)上是减函数，错误，也错误；当0x1)有最大值4，则实数a的值是()A1 B1C4 D4解析：选B由函数f(x)(x1)，则f(x)，要使得函数f(x)有最大值4，则a0，函数f(x)在(1,2)上单调递增，当x(2，)时，f(x)0，函数f(x
4、)在(2，)上单调递减，所以当x2时，函数f(x)取得最大值，即f(x)maxf(2)4，解得a1，满足题意，故选B.7若函数f(x)ax3ax22ax1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.解析：选Df(x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(2)f(1)0，即0，解得a.实数a的取值范围是.8若不等式x44x32a对任意实数x都成立，那么实数a的取值范围是()Aa2 Ba29Ca为一切实数 Da不存在解析：选B由题意得ax44x32对任意实数x都成立令f(x)x44x32，所以f(x)4x312x24x2(x3)，当x3时，f(
5、x)0，f(x)单调递增，当x3时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)maxf(3)29，所以af(x)max29，故选B.9已知函数f(x)及其导数f(x)，若存在x0使得f(x0)f(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”给出四个函数：f(x)x2，f(x)ex，f(x)ln x，f(x)tan x，其中有“巧值点”的函数的个数是()A1 B2C3 D4解析：选B根据题意，依次分析所给的函数：若f(x)x2，则f(x)2x，由x22x，得x0或x2，这个方程显然有解，符合要求；若f(x)ex，则f(x)ex，即exex，此方程无解，不符合要求；f(x)ln x，则f(x)，若l
6、n x，利用数形结合可知该方程存在实数解，符合要求；f(x)tan x，则f(x)，即sin xcos x1，变形得sin 2x2，无解，不符合要求，故选B. 10若函数f(x)eax(a0，b0)的图象在x0处的切线与圆x2y21相切，则ab的最大值为( )A4 B2C2 D.解析：选D函数的导数为f(x)eaxa，所以f(0)e0a，即在x0处的切线斜率k，又f(0)e0，所以切点坐标为，所以切线方程为yx，即axby10.圆心到直线axby10的距离d1，即a2b21，所以a2b21，即ab，当且仅当ab时等号成立，所以ab的最大值是，故选D. 11.有一个帐篷，它下部的形状是高为1 m
7、的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为()A1 m B. mC2 m D3 m解析：选C设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3.则由题设可得，正六棱锥底面边长为(m)，于是S6()2(82xx2)V(82xx2)(x1)(82xx2)(82xx2)(x1)3(1612xx3)(1x4)，V(123x2)，令V0，解得x2或x2(舍去)当1x0；当2x4时，V0.所以当x2 m时，V最大故选C.12若函数f(x)，且0x1x2b BabCab Da，b的大小不能确定解析：选Af(x).令g(
8、x)xcos xsin x，则g(x)xsin xcos xcos xxsin x.当0x1时，g(x)0，函数g(x)在(0,1)上是减函数，g(x)g(0)0，即f(x)0，函数f(x)在(0,1)上是减函数0x1x2f(x2)，即ab.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13已知函数yf(x)对任意的xR都有f(1x)2f(x)x21，则f(1)_，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为_解析：由题可得解得f(x)x2x.所以f(1)1，f(x)2x，所以f(1)，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即
9、8x3y50.答案：18x3y5014函数f(x)3x4x3在0,1上的最大值为_解析：f(x)312x2，令f(x)0，则x(舍去)或x，f(0)0，f(1)1，f1，f(x)在0,1上的最大值为1.答案：115若x2函数f(x)(x2ax1)ex的极值点，则f(2)_，f(x)的极小值为_解析：由函数f(x)(x2ax1)ex可得f(x)(2xa)ex(x2ax1)ex，因为x2是函数f(x)的极值点，所以f(2)(4a)e2(42a1)e20，即4a32a0，解得a1.所以f(x)(x2x2)ex.令f(x)0可得x2或x1.当x2或x1时，f(x)0，此时函数f(x)为增函数，当2x1
10、时，f(x)0，此时函数f(x)为减函数，所以当x1时函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)(1211)e1e.答案：0e16已知f(x)定义域为(0，)，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)xf(x)，则不等式f(x1)(x1)f(x21)的解集是_解析：令g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)0.g(x)在(0，)上为减函数又f(x1)(x1)f(x21)，(x1)f(x1)(x21)f(x21)，x2.答案：x|x2三、解答题(本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分) 已知f(x)log3，x(0，)，是否存在实数a，b
11、，使f(x)同时满足下列两个条件：f(x)在(0,1)上是减函数，在1，)上是增函数；f(x)的最小值是1.若存在，求出a，b，若不存在，请说明理由解：设g(x)，则g(x)，f(x)在(0,1)上是减函数，在1，)上是增函数，g(x)在(0,1)上是减函数，在1，)上是增函数，又f(x)的最小值为1，则g(x)的最小值为3，解得经检验，当a1，b1时，f(x)满足题设的两个条件18(本小题满分12分)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解：(1)因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)e
12、axb.依题设，得即解得a2，be.(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增所以g(1)1是g(x)在区间( ，)上的最小值所以g(x)0，x(，)所以f(x)0，x(，)，所以f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间19(本小题满分12分)已知f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在2，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最小值和最大值解：(1)由题意，知f(x)
13、3x22ax3，所以f(x)0 在x2，)上恒成立，得amin.记t(x)，当x2时，t(x)是增函数，所以t(x)min，所以a.(2)由题意得f(3)0，即276a30，所以a4.所以f(x)x34x23x，f(x)3x28x3.令f(x)0，得x1，x23.又因为x1,4，所以x舍去，故x3.当x(1,3)时，f(x)0，所以f(x)在3,4上为增函数所以x3时，f(x)有极小值于是当x1,4时，f(x)minf(3)18，而f(1)6，f(4)12，所以f(x)maxf(1)6.20(本小题满分12分)已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax2(e2.72，aR)(1)判断曲线yf
14、(x)在点(1，f(1)处的切线与曲线yg(x)的公共点个数；(2)当x时，若函数yf(x)g(x)有两个零点，求a的取值范围解：(1)f(x)ln x1，所以斜率kf(1)1.又f(1)0，曲线在点(1,0)处的切线方程为yx1.由x2(1a)x10.由(1a)24a22a3可知：当0时，即a1或a3时，有两个公共点；当0时，即a1或a3时，有一个公共点；当0时，即1a3时，没有公共点(2)yf(x)g(x)x2ax2xln x，由y0得axln x.令h(x)xln x，则h(x).当x，由h(x)0得x1.所以h(x)在上单调递减，在1，e上单调递增，故hmin(x)h(1)3.由h2e
15、1，h(e)e1，比较可知hh(e)所以当3ae1时，函数yf(x)g(x)有两个零点，即a的取值范围为.21(本小题满分12分)某公司将进货单价为a元(a为常数，3a6)一件的商品按x元(7x10)一件销售，一个月的销售量为(12x)2万件(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L(x)(万元)与每件商品的售价x(元)的函数关系式；(2)当每件商品的售价为多少元时，L(x)取得最大值？并求L(x)的最大值解：(1)L(x)(xa)(12x)2(7x10)(2)L(x)(12x)2(xa)(2x24)(12x)(122a3x)令L(x)0得x或x12.由a3,6，得6,8当6,7，即3a时，L(
16、x)在7,10上是减函数，L(x)的最大值为L(7)25(7a)；当(7,8，即a6时，L(x)在上是增函数，在上是减函数L(x)的最大值为L.综上可知，若3a，则当x7时，L(x)取得最大值，最大值是25(7a)；若0；当x时，g(x)0，g()2，故g(x)在区间(0，)存在唯一零点所以f(x)在区间(0，)存在唯一零点(2)由题设知f()a，f()0，可得a0.由(1)知，f(x)在区间(0，)只有一个零点，设为x0，且当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减又f(0)0，f()0，所以当x0，时，f(x)0.又当a0，x0，时，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范围是(，0
