1、必刷小题13立体几何一、单项选择题1如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形A1B1C1的直观图，则正确的图形是()答案A解析以B1C1所在直线为x轴，以B1C1边上的高为y轴建立坐标系，画对应的x，y轴，使夹角为45，画直观图时与x轴平行的线段长度保持不变，与y轴平行的线段长度变为原来的一半，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图，如图2下列四个命题中，正确的是()A各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱B对角面是全等矩形的六面体一定是长方体C有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱D长方体一定是直四棱柱答案D解析对于A，底面是菱形的直平行六面体，满足条件但不是正棱柱；对于B，底面是等腰梯形的直棱
2、柱，满足条件但不是长方体；C显然错误；长方体一定是直四棱柱，D正确3从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等于1，则满足条件的直线可能有()A0条或1条 B0条或无数条C1条或2条 D0条或1条或无数条答案D解析当点P到平面的距离大于1时，没有满足条件的直线；当点P到平面的距离等于1时，满足条件的直线只有1条；当点P到平面的距离小于1时，满足条件的直线有无数条4已知m，n表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若m，n，mn，则B若mn，m，n，则C若，m，mn，则nD若，m，nm，则n答案A解析对于A，由m，mn，得到：若n，过n的平面l，则nl，又n
3、，则l，l，则，若n，又n，则.综上，故A正确；对于B，若mn，m，n，则与相交或平行，故B错误；对于C，若，m，mn，则n与相交、平行或n，故C错误；对于D，若，m，nm，则n与相交或n，故D错误5已知直线a，b，l和平面，a，b，l，且.对于以下命题，判断正确的是()若a，b异面，则a，b至少有一个与l相交；若a，b垂直，则a，b至少有一个与l垂直A是真命题，是假命题B是假命题，是真命题C是假命题，是假命题D是真命题，是真命题答案D解析对于，若a，b都不与l相交，则只有一种可能，即a，b均平行于l，则ab，若a，b异面，则a，b至少有一个与l相交，故正确；对于，根据面面垂直的性质定理得：若
4、a，b垂直，则a，或b，故a，b至少有一个与l垂直，故正确6(2023徐州模拟)圆柱形玻璃杯中盛有高度为10 cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为()A. cm B15 cm C10 cm D20 cm答案B解析根据题意，玻璃球的体积等于放入玻璃球后水柱的体积减去原来水柱的体积；设玻璃球的半径为r，即圆柱形玻璃杯的底面半径为r；则玻璃球的体积为r3，圆柱的底面面积为r2，放入一个玻璃球后，水恰好淹没玻璃球，此时水面的高度为2r，所以r3r2(2r10)，解得r15(cm)7蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义
5、，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录已知某鞠的表面上有五个点P，A，B，C，D恰好构成一正四棱锥PABCD，若该棱锥的高为8，底面边长为4，则该鞠的表面积为()A64 B100 C132 D144答案B解析正四棱锥PABCD的底面是正方形，底面边长为4，高为8，如图所示，所以正四棱锥PABCD的底面对角线的长为48，设正四棱锥外接球的半径为R，则R2(8R)242，解得R5，所以球的表面积为S4R2425100，即该鞠的表面积为100. 8. 某同学
6、画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示)若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为()A. B. C. D.答案B解析设椭圆与圆柱的轴截面如图所示，作DEBC交BC于点E，则CDE为“切面”所在平面与底面所成的角，设为.设底面圆的直径为2r，则CD为椭圆的长轴2a，短轴为2bDE2r，则椭圆的长轴长2a|CD|，即a，所以椭圆的离心率为esin ，所以.9(2023安庆模拟)已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R，ABAC，BAC120，则
7、球O的表面积为()A48 B16 C32 D.答案A解析在ABC中，由余弦定理，得BC3，设ABC外接圆半径为r，由正弦定理2r2，得r，又R2R23，R212，球O的表面积为4R248.10. (2022北京模拟)在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VAVBVC1(单位：dm)，小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积(单位：dm2)的最大值是()A. dm2 B. dm2C. dm2 D. dm2答案B解析根据题意，在平面VAC内，过点P作EFAC分别交VA，VC于点F，E，在平面VBC内，过点E作EQVB交
8、BC于点Q，在平面VAB内，过F作FDVB交AB于点D，连接DQ，如图所示，因为EFAC，所以VEFVCA，设其相似比为k，则k，因为VAVBVC1，所以AC，即EFk，因为FD VB，所以AFDAVB，即，因为1k，所以1k，即FD1k，同理CEQCVB，即1k，即EQ1k，所以FDEQ，且FDEQ，所以四边形FEQD为平行四边形，因为VBVC，VBVA，VAVCV，VA平面VAC，VC平面VAC，所以VB平面VAC，因为FDVB，所以FD平面VAC，因为EF平面VAC，所以FDEF，所以四边形FEQD是矩形，即S矩形FEQDFDEF(1k)k2，所以当k时，S矩形FEQD有最大值.故该截面
9、面积的最大值是 dm2.二、多项选择题11. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是()AMNEFBMNEFCMN与EF异面DMN与EF平行答案BC解析设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2a，则MNa，作点E在平面ABCD内的射影点G，连接EG，GF，所以EFa，所以MNEF，故选项B正确，A错误；连接DE，因为E为平面ADD1A1的中心，所以DEA1D，又因为M，N分别为B1C1，CC1的中点，所以MNB1C，又因为B1CA1D，所以MNED，且DEEFE，所以MN与EF异面，故选项C正
10、确，D错误12(2023忻州模拟)如图，已知在边长为6的菱形ABCD中，BAD60，点E，F分别是线段AD，BC上的点且AEBF2.将四边形ABFE沿EF翻折，当折起后得到的几何体AEDBFC的体积最大时，给出下列说法，其中正确的说法有()AADEFBBC平面ADEC平面DEFC平面ABFED平面ADE平面ABFE答案BC解析将四边形ABFE沿EF翻折，得到几何体AEDBFC，在几何体AEDBFC中，DECF，CF平面CFB，DE平面CFB，DE平面CFB，又AEBF，BF平面CFB，AE平面CFB，AE平面CFB，AEDEE，平面CFB平面ADE，BC平面CFB，BC平面ADE，故B正确；如
11、图，过点D作DHEF，交EF于H，过H作HGAB，交AB于点G，过点C作CNEF，交EF的延长线于N，过点N作NMAB，交AB的延长线于点M，如图所示，则四棱锥CBFNM与DAEHG是全等的两个四棱锥，NMAB，则NMEF，又CNEF，NMCNN，EF平面CMN，EF平面DHG，D平面DHG，A平面DHG，则AD与EF不垂直，故A错误；三棱柱CNMDHG为直三棱柱，几何体AEDBFC的体积与三棱柱CNMDHG体积相同，三棱柱CNMDHG的体积VSCNMNH，在RtDEH中，DE4，EDH30，EH2，又EF6，NFEH，NH6，当SCNM面积最大时，几何体AEDBFC的体积最大，当NMCN时，
12、SCNM面积取最大值，NMNE，NECNN，则MN平面DEFC，又NM平面ABFE，平面ABFE平面DEFC，故C正确；若平面ADE平面ABFE，由平面ADE平面ABFEAE，过D有两条直线DH，DH与平面ABFE垂直，这与过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直相矛盾，故D错误三、填空题13(2023榆林模拟)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，且PAAB，ADAB，则tanAPC_.答案2解析PA底面ABCD，AC底面ABCD，PAAC，设AB1，则PA1，AD，AC2，tanAPC2.14.(2022安庆模拟)如图，在三棱锥PABC中，点O为AB的中点，点P在平面A
13、BC内的射影恰为OB的中点E，已知AB2PO2，点C到OP的距离为，则当ACB最大时，直线PC与平面PAB所成角的大小为 _.答案解析点C到OP的距离为，点C是以OP为旋转轴，为底面半径的圆柱与平面ABC的公共点，即点C的轨迹是以AB为焦距，以2为短轴长的椭圆，由椭圆的对称性可知，当ACB最大时，ACBC2，COAB，点P在平面ABC内的射影恰为OB的中点E，PE平面ABC，PE平面PAB，平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，OC平面ABC，CO平面PAB，CPO是直线PC与平面PAB所成的角，CO，OP1，tanCPO，CPO.15. 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中
14、，AB3，AD4，AA15，点E是棱CC1上的一个动点，若平面BED1交棱AA1于点F，则四棱锥B1BED1F的体积为_，截面四边形BED1F的周长的最小值为 _.答案202解析由题意可得，D1FBE，则 20；将长方体展开，如图所示，当点E为BD1与CC1的交点，F为BD1与AA1的交点时，截面四边形BED1F的周长最小，最小值为2BD122.16. (2023北京模拟)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动给出下列四个结论：D1OAC；存在一点P，D1OB1P；若D1OOP，则D1C1P面积的最大值为；若P到直线D
15、1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分其中所有正确结论的序号是 _.答案解析对于，连接AD1，CD1，如图，由正方体的性质知ACD1为等边三角形，由于O为底面ABCD的中心，故O为AC的中点，故ACD1O，正确；对于，将 D1O 进行平移到过B1点，使之与 B1P 具有公共顶点，如图，根据立体图形判断，无论如何也不可能满足B1H平行或重合于B1P，所以D1O不可能平行于B1P，错误；对于，取B1B的中点E，连接OE，EC，BD，D1E，如图，易证明D1O平面OEC，所以P在线段EC上运动，当点P到点E位置时，C1P最大，此时D1C1P的面积最大为2，所以正确；对于，P到直线D1C1的距离为线段PC1的长度，所以|PC1|PB|，判定出P点在直线BC1的垂直平分线上，故错误
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