1、专题3 函数与导数 第 15 练 函数的极值与最值 典例剖析 精题狂练 典例剖析 题型一 函数极值与极值点的判断、求解问题 题型二 根据函数的极值来研究函数图象问题 题型三 函数的极值问题 题型四 函数的最值问题 题型一 函数极值与极值点的判断、求解问题 破题切入点对函数f(x)求导之后，将k1,2分别代入讨论.例1(2013浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A.当k1时，f(x)在x1处取到极小值 B.当k1时，f(x)在x1处取到极大值 C.当k2时，f(x)在x1处取到极小值 D.当k2时，f(x)在x1处取到极大值 解析 当k1时，f(
2、x)exx1，f(1)0.x1不是f(x)的极值点.当k2时，f(x)(x1)(xexex2)显然f(1)0，且x在1的左边附近f(x)0，f(x)在x1处取到极小值.故选C.答案 C 题型一 函数极值与极值点的判断、求解问题 破题切入点结合函数的极值点，作出函数大致图象来解决.题型二 根据函数的极值来研究函数图象问题 例2 已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于()A.2或2B.9或3 C.1或1D.3或1 解析 y3x23，当y0时，x1.则当x变化时，y，y的变化情况如下表：题型二 根据函数的极值来研究函数图象问题 x(，1)1(1,1)1(1，)y y c2 c2 当
3、函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c20或c20，c2或c2.答案 A破题切入点对函数进行求导，结合题中条件列出方程组，解出参数的值(需验证)，即可得到函数的解析式.题型三 函数的极值问题 例3 已知函数f(x)(m，nR)在x1处取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式；mxx2n解 f(x)mx2n2mx2x2n2mx2mnx2n2，由于f(x)在x1处取得极值2，故f(1)0，f(1)2，题型三 函数的极值问题 即 mnm1n20，m1n2，解得m4，n1，经检验，此时f(x)在x1处取得极值.故 f(x)4xx21.破题切入点利用导数讨论函数g(x)的最小值，通过求解不等式得出实数a
4、的取值范围.题型三 函数的极值问题(2)设函数 g(x)ln xax，若对任意的x1R，总 存 在 x21，e，使 得g(x2)f(x1)72，求实数 a 的取值范围.解 由(1)知f(x)的定义域为R，且f(x)f(x).故f(x)为奇函数，f(0)0.当x0时，f(x)0，f(x)2，4x1x 题型三 函数的极值问题 当且仅当x1时取“”.当 x0 时，f(x)0，f(x)4x1x2，当且仅当x1时取“”.故 f(x)的值域为2,2，从而 f(x1)7232.依题意有 g(x)min32，x1，e，题型三 函数的极值问题 g(x)1x ax2xax2，当a1时，g(x)0，函数g(x)在1
5、，e上单调递增，其最小值为 g(1)a132，符合题意；当1ae时，函数g(x)在1，a上单调递减，在(a，e上单调递增，所以函数g(x)的最小值为g(a)ln a1，题型三 函数的极值问题 由 ln a132，得 0a e，从而知当 132，不符合题意.综合所述，a 的取值范围为(，e.破题切入点f(x)在闭区间1，e上的最大值、最小值要么在端点处取得,要么在极值点处取得.所以首先要研究f(x)在1，e上的单调性.题型四 函数的最值问题 例4 已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在区间1，e上的最大值、最小值；12解 当x1，e时，f(x)x 0，1x所以f(x)在区间1，e上
6、为增函数.所以当x1时，f(x)取得最小值；12当xe时，f(x)取得最大值 e21.12 题型四 函数的最值问题(2)求证：在区间(1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方.23破题切入点f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方，即g(x)f(x)在(1，)上恒大于0.23证明 设 h(x)g(x)f(x)23x312x2ln x，x(1，)，则 h(x)2x2x1x2x3x21xx12x2x1x.题型四 函数的最值问题 当x(1，)时，h(x)0，h(x)在区间(1，)上为增函数，所以 h(x)h(1)160.所以对于x(1，)，g(x)f(x)成立，即f(x)的图象
7、在g(x)的图象的下方.总结提高(1)准确把握函数极值与最值的概念，极值是函数的局部性质，在所给的区间上极大值和极小值不一定唯一，且极大值不一定大于极小值，而最值是函数的整体性质，在所给的区间上最大值一定大于最小值，且最大值和最小值都是唯一的.(2)函数在x0处取得极值，有f(x0)0，而f(x0)0不一定有f(x)在x0处取得极值.(3)两者之间的联系，求最值时先要求出极值然后和区间端点函数值相比较而得出最大值和最小值.精题狂练 123456789 10 11 121.(2014课标全国)函数f(x)在xx0处导数存在.若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的极值点，则()A.p是q的充分
8、必要条件 B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 精题狂练 123456789 10 11 12解析 当f(x0)0时，xx0不一定是f(x)的极值点，比如，yx3在x0时，f(0)0，但在x0的左右两侧f(x)的符号相同，因而x0不是yx3的极值点.由极值的定义知，xx0是f(x)的极值点必有f(x0)0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件.答案 C 123456789 10 11 12精题狂练 2.(2013辽宁)设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，f(2)，则x0时，f(x)()A.有
9、极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 exxe28123456789 10 11 12精题狂练 解析 由 x2f(x)2xf(x)exx，得 f(x)ex2x2fxx3，令g(x)ex2x2f(x)，x0，则 g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex2exxx2exx.令g(x)0，得x2.当x2时，g(x)0；当0 x2时，g(x)0，g(x)在x2时有最小值g(2)e28f(2)0，123456789 10 11 12精题狂练 从而当x0时，f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数，函数f(x)无极大值，也无极小值.答案 D 12
10、3456789 10 11 12精题狂练 3.(2014江西)在同一直角坐标系中，函数 yax2xa2与ya2x32ax2xa(aR)的图象不可能的是()123456789 10 11 12精题狂练 解析 分两种情况讨论.当a0时，函数为yx与yx，图象为D，故D有可能.当 a0 时，函数 yax2xa2的对称轴为 x 12a，对函数ya2x32ax2xa，求导得y3a2x24ax1(3ax1)(ax1)，令 y0，则 x1 13a，x21a.123456789 10 11 12精题狂练 所以对称轴 x 12a介于两个极值点 x1 13a，x21a之间，A、C 满足，B 不满足，所以 B 是不
11、可能的.故选 B.答案 B 123456789 10 11 12精题狂练 4.设变量 a，b 满足约束条件ba，a3b4，a2.z|a3b|的最大值为 m，则函数 f(x)13x3m16x22x2 的极小值等于()A.43B.16C.2 D.196123456789 10 11 12精题狂练 解析 据线性规划可得(a3b)min8，(a3b)max2，故2|a3b|8，即m8，此时f(x)x2x2(x2)(x1)，可得当x1时f(x)0，当1x2时f(x)0，故当x2时函数取得极小值，即 f(x)极小值f(2)43.答案 A 123456789 10 11 12精题狂练 5.已知函数 f(x)
12、x32bx2cx1 有两个极值点 x1，x2，且 x12，1，x21,2，则 f(1)的取值范围是()A.32，3 B.32，6C.3,12D.32，12123456789 10 11 12精题狂练 解析 方法一 由于f(x)3x24bxc，据题意方程3x24bxc0有两个根x1，x2，且x12，1，x21,2，令g(x)3x24bxc，结合二次函数图象可得只需g2128bc0，g134bc0，g134bc0，g2128bc0，123456789 10 11 12精题狂练 此即为关于点(b，c)的线性约束条件，作出其对应平面区域，f(1)2bc，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f(1
13、)2bc的最值问题，由线性规划易知3f(1)12，故选C.方法二 方程3x24bxc0有两个根x1，x2，且x12，1，x21,2的条件也可以通过二分法处理，即只需g(2)g(1)0，g(2)g(1)0即可，利用同样的方法也可解答.答案 C 123456789 10 11 12精题狂练 6.设函数 yf(x)在(0，)内有定义，对于给定的正数 K，定义函数 fK(x)fx，fxK，K，fxK，若函数 f(x)ln x1ex，且恒有 fK(x)f(x)，则()A.K 的最大值为1eB.K 的最小值为1eC.K 的最大值为 2 D.K 的最小值为 2123456789 10 11 12精题狂练 解
14、析 由于 f(x)ln x1ex，所以 f(x)1xln x1ex，令 g(x)1xln x1，则 g(x)x21x0，此时f(x)0，当x(1，)时，g(x)0，此时f(x)0，123456789 10 11 12精题狂练 所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在(1，)上单调递减，故 f(x)maxf(1)1e，又函数 f(x)ln x1ex，且恒有fK(x)f(x)，结合新定义可知，K 的最小值为1e，故选 B.答案 B 123456789 10 11 12精题狂练 7.函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是_.解析 y3x23a，令y0，可得ax2.又x
15、(0,1)，0a1.0a0，解得a2或a2或a1 123456789 10 11 12精题狂练 9.若函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_.12解析 对 f(x)求导，得 f(x)x43xx24x3xx1x3x.由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，123456789 10 11 12精题狂练 函数f(x)在区间t，t1上就不单调，所以t1t1或t3t1，解得0t1或2t3.答案 0t1或2t0，所以f(x)在(，)上单调递增.若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0.所以，f(x)在(，ln a)上单调
16、递减，在(ln a，)上单调递增.123456789 10 11 12精题狂练(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值.解 由于a1时,(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于 k0).令 g(x)x1ex1x，123456789 10 11 12精题狂练 则 g(x)xex1ex12 1exexx2ex12.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增，又h(1)e30.所以h(x)在(0，)上存在唯一零点.故g(x)在(0，)上存在唯一零点.设此零点为，则(1,2).123456789 10 11 12精题
17、狂练 当 x(0，)时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上的最小值为g().又由g()0，得e2，所以g()1(2,3).由于式等价于k0)，xR.(1)求f(x)的单调区间和极值；23解 由已知，有f(x)2x2ax2(a0).令 f(x)0，解得 x0 或 x1a.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：123456789 10 11 12精题狂练 x(，0)0(0，1a)1a(1a，)f(x)00f(x)013a2所以 f(x)的单调递增区间是(0，1a)；单调递减区间是(，0)，(1a，).123456789 10 11 12精题狂练 当x0时，f(x)有极小值，且极小值f(
18、0)0；当 x1a时，f(x)有极大值，且极大值 f(1a)13a2.123456789 10 11 12精题狂练(2)若对于任意的x1(2，)，都存在x2(1，)，使得f(x1)f(x2)1，求a的取值范围.解 由 f(0)f(32a)0 及(1)知，当 x(0，32a)时，f(x)0；当 x(32a，)时，f(x)2，即 0a34时，由 f(32a)0 可知，0A，而 0B，所以 A 不是 B 的子集.当 1 32a2，即34a32时，有 f(2)0，且此时 f(x)在(2，)上单调递减，123456789 10 11 12精题狂练 故A(，f(2)，因而A(，0)；由f(1)0，有f(x
19、)在(1，)上的取值范围包含(，0)，则(，0)B.所以AB.当 32a32时，有 f(1)0，所以当x(0,2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，).123456789 10 11 12精题狂练(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围.解 由(1)知，k0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；当k0时，设函数g(x)exkx，x0，).因为g(x)exkexeln k，当00，yg(x)单调递增.123456789 10 11 12精题狂练 故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点.当k1时，当x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增.所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k).函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，123456789 10 11 12精题狂练 当且仅当g00，gln k0，0ln k2.解得 eke22.综上所述，函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为(e，e22).谢谢观看 更多精彩内容请登录
