1、第二课数系的扩充与复数的引入复数的概念【例1】复数zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时，(1)zR；(2)z为虚数解(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以由得x4，经验证满足式所以当x4时，zR.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以由得x或x3.所以当x且x4时，z为虚数处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是abi(a，bR)的形式时，要通过变形化为abi的形式，以便确定其实部和虚部(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根1(1)复数z|(i)i|i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为_(2)设zi，则|z|_
2、.(1)2i(2)(1)(i)ii1，|(i)i|i1|2，z2i52i，复数z的共轭复数为2i.(2)ziii，则|z|.复数的四则运算【例2】(1)若i(xyi)34i(x，yR)，则复数xyi的模是_(2)已知(12i)43i，则的值为_思路探究(1)先利用复数相等求x，y，再求模；(2)先求，进而求z，再计算.(1)5(2)i(1)法一：因为i(xyi)34i，所以xyi43i，故|xyi|43i|5.法二：因为i(xyi)34i，所以yxi34i，所以x4，y3，故|xyi|43i|5.法三：因为i(xyi)34i，所以(i)i(xyi)(i)(34i)43i，即xyi43i，故|x
3、yi|43i|5.(2)因为(12i)43i，所以2i，所以z2i，所以i.(1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似(2)复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成abi(a，bR)的结构形式. (3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化2(1)复数_.(2)2 019_.(1)2i(2)i(1)(1i)212ii22i.(2)2 019i2 019i3i.复数的几何意义【例3】已知复数z满足|z|，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，()2，zz2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求ABC的面积；(3)若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|mz
4、|1，求|m|的最值思路探究(1)设出z，列方程求解；(2)计算出()2，zz2，求出对应点B，C，在坐标系中确定三角形，进而求面积；(3)求出复数m在复平面内对应点的轨迹，利用数形结合法求|m|的最值解(1)设zabi(a，bR)，则z2(a2b2)2abi，或z1i或z1i.(2)当z1i时，()22i，zz21i，则A(1,1)，B(0，2)，C(1，1)SABC211.当z1i时，()22i，zz213i，则A(1，1)，B(0，2)，C(1，3)，SABC211.(3)由题知，z1i，对应点(1,1)在第一象限，|z|，又|mz|m(1i)|1，则复数m在复平面内所对应的点M的轨迹为
5、以(1,1)为圆心，1为半径的圆，所以，|m|最小值1，|m|最大值1.复数可由复平面内的点或向量进行表示(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题(2)复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题3复数z(i为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是_(1,3)z(12i)(1i)13i，所以z在复平面内对应点的坐标是(1,3)转化与化归思想【例4】设zC，满足zR，z是纯虚数，求z.思路探究本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.解设zxyi(x，yR)，则zxyii，zR，y0，解得y0或x2y21.又zxyiyi是纯虚数，x，代入x2y21中，求出y，复数zi.一般设出复数z的代数形式，即zxyi(x，yR)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法4满足z是实数，且z3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由解设虚数zxyi(x，yR，且y0)，则zxyixi，z3x3yi.由已知，得因为y0，所以解得或所以存在虚数z12i或z2i满足题设条件