1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.1.2瞬时变化率导数学 习 目 标核 心 素 养1.结合实际背景理解函数的瞬时变化率导数的概念及其几何意义(重点、难点)2会求简单函数在某点处的导数及切线方程(重点)3理解导数与平均变化率的区别与联系(易错点)1.通过导数的概念，培养数学抽象素养2借助导数的几何意义，提升数学运算素养.1曲线上一点处的切线如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线2瞬时速度与瞬时加速度(1)
2、一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率(2)一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率3导数(1)函数在一点处的导数及其几何意义设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)(2)导数的几何意义导数f(x0)的几何意义就是
3、曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率(3)导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)f(x)在xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值1如果质点A的运动方程为y3t2，则它在t1时的瞬时速度为()A6tB3C6tD6D63t.当t0时，在t1时的瞬时速度为6.故选D.2设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在B与x轴平行或重合C与x轴垂直D与x轴斜交B由导数的几何意义知B正确3已知f(x)2x5，则f(x
4、)在x2处的导数为_2yf(2x)f(2)2(2x)5(225)2x，2，f(2)2.4函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是y2x9，若P点的横坐标为4，则f(4)f(4)_.1由导数的几何意义，f(4)2.又f(4)2491，故f(4)f(4)121.求瞬时速度、瞬时加速度【例1】(1)以初速度v0(v00)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)v0tgt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为_(2)某物体的运动方程为s2t3，则物体在第t1时的瞬时速度是_思路探究先求出，再求瞬时速度(1)v0gt0(2)6(1)sv0(t0t)g(t0t)2v0tgt0tg(t)2，v0gt0gt，当t0时
5、，v0gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0gt0.(2)当t1时，s2(1t)321321(t)33t3(t)2222(t)36t6(t)222(t)36(t)26t，2(t)26t6，当t0时，6，则物体在第t1时的瞬时速度是6.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)；(2)求平均速度；(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度1一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2(位移单位：m，时间单位：s)(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t2时的瞬时速度；(3)求t0到t2时的平均速度解(1)3t，当t0时，
6、3t3，即物体的初速度为3 m/s.(2)t1，当t0时，t11，即物体在t2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反(3)1，即t0到t2时的平均速度为1 m/s.求函数在某点处的导数【例2】求函数y在x2处的导数思路探究解令f(x)，则yf(2x)f(2)1，当x0时，1，函数y在x2处的导数为1.由导数的定义，求函数yf(x)在点x0处的导数的方法：(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)x0，得导数f(x0)2求函数f(x)x在x1处的导数解y(1x)x1x，1，当x0时，12，函数在x1处的导数等于2.导数的几何意义及其应用探究问题1若函数yf(x
7、)在点x0处的导数存在，则曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是什么？提示根据直线的点斜式方程，得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点3函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？提示区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f(x)在xx0时的函数值【例3】已知曲线f(x).(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为的曲线的切线方程思路探究(1)点A不在曲线上，设切点坐
8、标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程(2)设出切点坐标，由该点斜率为，求出切点，进而求出切线方程解(1)，当x0时，.设过点A(1,0)的切线的切点为P，则f(x0)，即该切线的斜率为k.因为点A(1,0)，P在切线上，所以，解得x0.故切线的斜率k4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y4(x1)，即4xy40.(2)设斜率为的切线的切点为Q，由(1)知，kf(a)，得a.所以切点坐标为或.故满足斜率为的曲线的切线方程为y(x)或y(x)，即x3y20或x3y20.1求曲线过已知点的切线方程的步骤2若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根
9、据点斜式写出切线方程3已知抛物线y2x2，则抛物线在点(1,2)处的切线方程为_4xy20因为42x，当x0时，42x4，所以f(1)4.所以切线方程为y24(x1)，即4xy20.1瞬时速度、瞬时加速度即为当t0时的的极限值2导数的几何意义：曲线上某点的导数即为该点处切线的斜率3在求切线方程时，要注意“过点”与“在点”的区别，求切线方程的关键是求切点坐标.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yf(x)在xx0处的导数值与x值的正、负无关()(2)导函数f(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同()(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点()(4)函数f(x)0没有导函数
10、()解析(1)正确(2)错导函数的定义域和原函数的定义域可能不同，如f(x)x，其定义域为0，)，而其导函数f(x)，其定义域为(0，)(3)错直线与曲线相切时，直线与曲线的交点可能有多个(4)错函数f(x)0为常数函数，其导数f(x)0，并不是没有导数答案(1)(2)(3)(4)2一个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A7 m/sB6 m/sC5 m/sD8 m/sC5t，当t0时，5t5，物体在3 s末的瞬时速度为5 m/s.3曲线f(x)在点(2，1)处的切线方程为_x2y40，当x0时，.切线方程为y1(x2)，即x2y40.4求曲线yf(x)x21过点P(1,0)的切线方程解设切点为Q(a，a21)，2ax，当x0时，2ax2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，2a，解得a1，所以所求的切线方程为y(22)x(22)或y(22)x(22)，即y(22)x22或y(22)x22.- 10 - 版权所有高考资源网
