1、课时过关检测(六十九) 常见的几类数学模型A级基础达标1某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()Ax15，y12Bx12，y15Cx14，y10Dx10，y14解析：A如图过点B作BCAE于点C，易知ADEABC，由三角形相似得，整理得x(24y)，Sxy(y12)2180(8y24)当y12时，S有最大值，此时x152十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相现有十二生
2、肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是()ABCD解析：A现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，样本点总数nA1 320，这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的样本点个数m12913945，这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是P故选A3某市一年12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数yaAcos(x1,2,3，12)来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为2
3、8 ，12月份的平均气温最低，为18 ，则该市8月份的平均气温为()A255 B225 C205 D13 解析：A由题意可得即解得所以f(x)235cos，所以该市8月份的平均气温为f(8)235cos235cos 255 ，故选A4为了研究流感病毒相关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数为N0，平均每个病人可传染给K个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L天，在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位：天)的关系式为N(t)N0(1K)t，若N02，K24，则利用此模型预测第5天的病例数大约为()(参考数据：log1445418，log244547，log3445
4、45)A260B580C910D1 200解析：CN(5)2(124)52345，因为log344545，所以345454，所以N(5)23452454908910故选C5荧光定量PCR法是通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测的一种检测方法，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lg Xnnlg(1p)lg X0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为(参考数据：10021585，10020631)()A0369B0415C05
5、85D0631解析：C由题意知，lg(100 X0)10lg(1p)lg X0，即2lg X010lg(1p)lg X0，所以1p10021585，解得p0585故选C6(2022海安高三模拟)从某个角度观察篮球(如图)，可以得到一个对称的平面图形(如图所示)篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且ABBCCD，则该双曲线的离心率为()ABCD解析：D设双曲线的方程为1(a0，b0)，则OCa，因为ABBCCD，所以CD2OC，所以OD3OC3a，因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上，代入1可得1，
6、解得，所以双曲线的离心率为e故选D7(多选)两位大学毕业生甲、乙同时开始工作甲第1个月工资为4 000元，以后每月增加100元乙第一个月工资为4 500元，以后每月增加50元，则()A第5个月甲的月工资低于乙的月工资B甲与乙在第11个月时月工资相等C甲、乙前11个月的工资总收入相等D甲比乙前11个月的工资总收入要低解析：ABD设甲各月工资构成等差数列an，乙各月工资构成等差数列bn，易知an100n3 900，bn50n4 450因为a54 400b54 700，所以选项A正确；因为a11b115 000，所以选项B正确；因为甲前11个月工资总收入为49 500元，乙前11个月工资总收入为52
7、 250元，所以选项C不正确，选项D正确8某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_解析：一年的总运费与总存储费用之和为y64x4x2 240，当且仅当4x，即x30时，y有最小值240答案：309候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为vablog3(其中a，b是实数)据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，
8、飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有ablog30，即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有ablog31，整理得a2b1解方程组得(2)由(1)知，v1log3所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v2，即1log32，即log33，解得Q270所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位B级综合应用10森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用为了实现到2030年，我国森林蓄积量将比2
9、005年增加60亿立方米这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉s万立方米(10s30)的森林设an为自2021年开始，第n年末的森林蓄积量(单位：万立方米)(1)请写出一个递推公式，表示an1，an两者间的关系；(2)将(1)中的递推公式表示成an1kr(ank)的形式，其中r，k为常数；(3)为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量s最大为多少万立方米？(精确到1万立方米)参考数据：8596，9745，10931解
10、：(1)由题意，得a1120(125%)s150s，an1an(125%)sans(2)将an1kr(ank)化为an1rankrk，比较的系数，得解得所以递推公式为an14s(an4s)(3)因为a14s1505s，且s(10,30)，所以a14s0，由(2)知an14s(an4s)，且an4s0，所以，即数列an4s是以1505s为首项，为公比的等比数列，其通项公式为an4s(1505s)n1，所以an4s(1505s)n12030年底的森林蓄积量为数列an的第10项，a104s(1505s)9由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，所以a104120，即4s(1505s)9480，即4s(1505s)7454s111753725s480解得s1917所以每年的砍伐量最大为19万立方米