1、课时过关检测(五十) 椭圆的定义、标准方程及简单几何性质A级基础达标1与椭圆9x24y236有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是()A1B1C1D1解析：B由9x24y236可得1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2945，b2，a225，所以所求椭圆方程为12“(loga2)x2(logb2)y21表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是()A0abB1abC2abD1ba解析：C若(loga2)x2(logb2)y21表示焦点在y轴上的椭圆，则需即所以1ab，所以“(loga2)x2(logb2)y21表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是2ab，故选C3如图，P是椭圆
2、1上的一点，F是椭圆的左焦点且，|2，则|PF|()A2BC3D4解析：A由1可得a3因为，所以点Q是线段PF的中点，设椭圆的右焦点为F，则O是FF的中点，所以|PF|2|OQ|4，由椭圆的定义可知：|PF|PF|2a6，所以|PF|2，故选A4已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当MF1F2的面积最大时，MF1F2内切圆半径为()A3B2CD解析：D因为椭圆为1，所以a5，b3，c4当MF1F2的面积最大时，点M为椭圆C短轴的顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，MF1F2内切圆半径为r，则|MF1|MF2|a5，|F1F2|2c8，|OM|b3，S(|M
3、F1|MF2|F1F2|)r|F1F2|OM|，所以r，故选D5过椭圆C：1(ab0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()ABCD解析：A由题设知，直线l：1，即bxcybc0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将xc代入椭圆C的方程，得y，即圆的半径r又圆与直线l有公共点，所以，化简得2cb，平方整理得a25c2，所以e又0e1，所以0e故选A6(多选)对于曲线C：1，下面四个说法正确的是()A曲线C不可能是椭圆B“1k4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”
4、是“3k4”的必要不充分条件D“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1k25”的充要条件解析：CD对于A，当1k4且k25时，曲线C是椭圆，所以A错误；对于B，当k25时，4kk1，此时曲线C是圆，所以B错误；对于C，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得25k4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3k4”的必要不充分条件，所以C正确；对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1kb0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解：(1)连接PF1(图略)由POF2为
5、等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率为e1(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1由及a2b2c2得y2又由知y2，故b4由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4当b4，a4时，存在满足条件的点P所以b4，a的取值范围为4，)B级综合应用11如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60，则此椭圆形影子的离心率为()ABCD解析：B由图可得，椭圆的短轴长
6、2b22b11，长轴长2aa，e故选B12明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆已知图、中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，设图、中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则()Ae1e3e2Be2e3e1Ce1e2e3De2e1e3解析：A因为椭圆的离心率e ，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大因为144，124，143，则，所以e1e3e2故选A13(多选)数学家称为黄金比，记为，定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比，则称该椭圆为“黄金椭圆”，以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆
7、若黄金椭圆1(ab0)与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有()A21B黄金椭圆的离心率eC设直线OQ的倾斜角为，则sin D交点Q的坐标为(b，b)解析：AC方程210的根为，故A正确；由题意可知，则e，故B错误；易知QF1QF2，且QF1F2，则|QF2|2csin ，|QF1|2ccos，所以|QF1|QF2|2c2a，即sincos，两边平方，可得sin 1，即sin 1，故C正确；由C知，sin ，所以tan ，即D错误故选A、C14(2021浙江高考)已知椭圆1(ab0)，焦点F1(c,0)，F2(c,0)(c0)若过F1的直线和圆2y2c2相切，与椭圆的第一象限交于
8、点P，且PF2x轴，则该直线的斜率是_，椭圆的离心率是_解析：设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A，则|AM|c，|AF1|c，所以|MF1|c，所以该直线的斜率k因为PF2x轴，所以|PF2|，又|F1F2|2c，所以k，得e答案：15已知直线xy0经过椭圆C：1(ab0)的左顶点和上顶点(1)求椭圆C的方程；(2)若A，B为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线y3x上存在一点P，使得三角形PAB为正三角形，求AB所在直线的方程解：(1)因为直线xy0与x轴交于点(，0)，与y轴交于点(0,1)，又直线xy0经过椭圆C：1(ab0)的左顶点和上顶点，可得a，b1，所以椭圆C的方程为y21(2)设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，由题意知直线AB的斜率存在，当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是y轴，y轴与直线l：xy30的交点为P (0,3)，因为|AB|2，PO3可得PAO60，以PAB为等边三角形，故得直线AB的方程为y0当直线AB的斜率不为0时，设AB的方程为ykx，代入椭圆方程消去y，得(3k21)x23，所以|x1|，则|AO|，设AB的垂直平分线为yx，设它与直线l：xy30的交点为P(x0，y0)，则x0，y0，所以|PO|，因为PAB为正角形，所以应有|PO|AO|，可得 ，解得k0(舍)或k1，故直线AB的方程为y0或xy0