1、第8讲 二次函数与幂函数思维导图知识梳理1幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数常见的五类幂函数为yx，yx2，yx3，yx，yx1.(2)五种幂函数的图象(3)性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)f(x)ax2bxc(a0，若在(0，)上单调递减，则0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()【解析】A项，因为a0，0，所以b0，所以c0，而f(0)c0，故A错B项，因为a0，所以b0.又因为abc0，所以c0，故B错C项，因为a0，0.又因为abc0，所以c0，而f(0)
2、c0，0，所以b0，所以c0，而f(0)c0，故选D.【例3-2】（2020海南模拟）已知函数在上单调递增，则的取值范围为A，B，C，D，【分析】先求出函数的对称轴，再结合在区间上单调递增，所以对称轴在区间左侧，列出不等式，解出的取值范围【解答】解：函数的对称轴为，函数在区间上单调递增，解得，故选：【例3-3】（2019秋庐江县期末）函数在闭区间，上有最大值3，最小值为2，的取值范围是A，B，C，D，【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数的图象，如图所示，当时，最小，最小值是2，当时，欲使函数在闭区间，上的上有最大值3，最小值2，则实数的取值范围要大于等于1而小于等于2即可【解答】解：作出函
3、数的图象，如图所示，当时，最小，最小值是2，当时，函数在闭区间，上上有最大值3，最小值2，则实数的取值范围是，故选：【例3-4】（2020江苏一模）已知函数是奇函数，若对于任意的，关于的不等式（a）恒成立，则实数的取值范围是 【分析】由已知结合奇函数的定义可求，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求【解答】解：由奇函数的性质可得，恒成立，即，故即，此时单调递减的奇函数，由不等式（a）恒成立，可得恒成立，结合二次函数的性质可知，所以故答案为：【跟踪训练3-1】（2019秋吉安期末）函数在区间，上是增函数，则的取值范围是ABCD【分析】函数的对称轴，从而，由此能求出的取值范围【
4、解答】解：函数在区间，上是增函数，函数的对称轴，解得的取值范围是，故选：【跟踪训练3-2】（2019秋宜昌期末）函数在闭区间，上的最大值与最小值的和是AB0C1D2【分析】函数是一条以为对称轴，开口向上的抛物线，在闭区间，上先减后增，所以当时，函数取最小值；当时，函数取最大值，代入计算即可【解答】解：当时，函数取最小值，当时，函数取最大值2最大值与最小值的和为0故选：【跟踪训练3-3】（2019秋长春期末）已知函数（1）若函数的值域为，求实数的值；（2）若对任意的，成立，求实数的取值范围【分析】（1）根据函数的值域可知，解出即可；（2）利用分离参数法表示出，求出的取值范围即可【解答】解：（1）
5、函数的值域为，（2）对任意的，成立，对任意的，成立，对任意的，成立，又当，时，即所求实数的取值范围是【跟踪训练3-4】（2020春诸暨市校级期中）已知函数（）若，函数在区间，上有意义且不单调，求的取值范围；（）若，且，求的取值范围【分析】（）当时，由题知：二次函数的对称轴在之间，且在，上恒为正，列出不等式组，即可求出的取值范围；（）因为，设，为方程的两个根，所以，由，解得或，又，为方程的两个根，所以，即可求出的取值范围【解答】解：（）当时，由题知：二次函数的对称轴在之间，且在，上恒为正，解得：；（）因为，设，为方程的两个根，由，得且，由（1）得，所以，因为，解得或，又，为方程的两个根，所以，解
6、得，综上所述：【名师指导】1.识别二次函数图象应学会“三看”2.二次函数的单调性问题（1）对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解（2）利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较3.二次函数的最值问题（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论（2）二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解4.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数
