1、第7讲 函数的奇偶性与周期性思维导图知识梳理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期核心素养分析能用代数
2、运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。重点提升数学抽象、逻辑推理素养.题型归纳题型1 函数奇偶性的判定【例1-1】（2019全国）下列函数中，为偶函数的是ABCD【分析】根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可【解答】解：函数关于对称，函数为非奇非偶函数，函数的减函数，不具备对称性，不是偶函数，则函数是偶函数，满足条件由得得，函数的定义为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故选：【例1-2】（2019肥西质检）判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可.【解答】(1)由f(x)
3、，可知故函数f(x)的定义域为(6，0)(0，6，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)由x21x1，故函数f(x)的定义域为1，1，关于原点对称，且f(x)0，所以f(x)f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数(3)由1x0或0x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数法三：f(x)还可以写成f(x)x2|x|(x0)，故f(x)为偶函数【跟踪训练1-1】（2020春龙华区校级月考）已知函数，则下列结论正确的是A为奇函数B为偶函数C为奇函数D为非奇非偶函数【分析】判断可知函数，均为奇函数
4、，利用奇函数的性质即可得解【解答】解：，故函数为奇函数，显然函数也为奇函数，为偶函数，为奇函数，故选：【跟踪训练1-2】（2019秋桥西区校级月考）判断下列函数的奇偶性，并求函数的值域（1）（2）【分析】（1）可以得出，从而可看出是奇函数，值域为；（2）可看出是偶函数，并容易求出的值域为，【解答】解：（1），是奇函数，且的值域为；（2）为偶函数，的值域为，【名师指导】判断函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再化简解析式后验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0是否成立(2)图象法：(3)性质法：设f(x)，g(x)的定
5、义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇题型2 函数奇偶性的应用【例2-1】(1)(2019高考全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x1，则当x0时，x0时，f(x)f(x)eax，所以f(ln 2)ealn 28，所以a3.(2)因为f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x1，所以当x0，f(x)f(x)(x1)，即x0时，f(x)(x1)x1.(3)设F(x)f(x)1x3sin x，显然F(x)为奇函数又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，从而f(a)0.【跟踪训练2-1】（2019新课标）设为奇函数，且当时，则当时，
6、ABCD【分析】设，则，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得时的【解答】解：设，则，设为奇函数，即故选：【跟踪训练2-2】（2020上海）若函数为偶函数，则【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得，变形分析可得答案【解答】解：根据题意，函数为偶函数，则，即，变形可得：，必有；故答案为：1【跟踪训练2-3】（2020迎泽区校级模拟）已知为奇函数，当时，则的值为 【分析】结合已知函数解析式及奇函数的定义代入即可求解【解答】解：因为为奇函数，当时，则（1）故答案为：3【跟踪训练2-4】（2019秋丰台区期末）函数是定义在上的偶函数，且图象过点已知时，且（）求（1）的值和的值；（）若，求的取值范围【
7、分析】（）根据题意，由偶函数的性质可得（1），进而结合函数的解析式可得（1），解可得的值，即可得答案；（）根据题意，由函数的解析式分析可得时，的解集，结合函数的奇偶性分析可得答案【解答】解：（）根据题意，图象过点，即，又由是定义在上的偶函数，则（1），又由时，则（1），解可得；（）根据题意，由（）的结论，时，此时若，即且，解可得：，又由为偶函数，则，即的取值范围为，【名师指导】与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，
8、从而得到f(x)的解析式(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数f(x)f(x)，f(x)为偶函数f(x)f(x)，列式求解，也可利用特殊值法求解对于在x0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)0求解题型3 函数的周期性【例3-1】（2019上海）已知函数周期为1，且当时，则【分析】由题意知函数周期为1，所以化简再代入即可【解答】解：因为函数周期为1，所以，因为当时，所以，故答案为：【例3-2】（2020安阳二模）已知是定义在上的函数，且，如果当，时，则【分析】推导出，再由当，时，得到（2），由此能求出结果【解答】解：是定义在上的函数，且，当，时，（
9、2）故答案为：【跟踪训练3-1】（2020春红旗区校级月考）已知是定义在上周期为2的函数，当，时，那么当，时，ABCD【分析】当，时，再利用周期性即可得出【解答】解：当，时，故选：【跟踪训练3-2】(2019山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f_【分析】先求出函数的周期，再根据周期函数的性质计算即可.【解答】f(x2)，f(x4)f(x)，ff，又2x3时，f(x)x，f，f.【名师指导】函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数
10、的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性题型4 函数性质的综合应用【例4-1】（2020山东）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是A，B，C，D，【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可【解答】解：定义在的奇函数在单调递减，且（2），的大致图象如图：在上单调递减，且；故；当时，不等式成立，当时，不等式成立，当或时，即或时，不等式成立，当时，不等式等价为，此时，此时，当时，不等式等价为，即，得，综上或，即实数的取值范围是，故选：【例4-2】（2020安庆模拟）已知奇函数的
11、定义域为，若为偶函数，且（1），则ABC0D1【分析】根据题意，由为偶函数，分析可得且（1），结合函数周期即可得答案【解答】解：根据题意，函数为奇函数，则，又由为偶函数，则函数的图象关于对称，则有，所以即函数的周期为4，且（1），则（1），则故选：【例4-3】（多选）（2020烟台模拟）已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当，时，则A是周期为2的函数BC的值域为，D的图象与曲线在上有4个交点【分析】，根据题意得，是周期为4的周期函数，错误；，因为是周期为4的周期函数，则；当，时，则（1），则（1），进而得出正确，当，时，此时有，又由为上的奇函数，则，时，进而得出正确，由函数图象可知，正确【解答
12、】解：根据题意，对于，为上的奇函数，为偶函数，则；则是周期为4的周期函数，错误；对于，为定义域为的奇函数，则，是周期为4的周期函数，则；当，时，则（1），则（1），则；故正确对于，当，时，此时有，又由为上的奇函数，则，时，所以函数的值域，故正确对于，由函数图象可知，正确故选：【跟踪训练4-1】（2020新课标）设函数，则A是奇函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是偶函数，且在单调递减【分析】先检验与的关系即可判断奇偶性，然后结合幂函数的性质可判断单调性【解答】解：因为，则，即为奇函数，根据幂函数的性质可知，在为增函数，故在为减函数，在为增函数，所以当时，单调递增
13、，故选：【跟踪训练4-2】（2020和平区二模）已知是定义在上的偶函数，且在区间，上单调递增，若实数满足，则的取值范围是 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论【解答】解：因为是定义在上的偶函数，且在区间，上单调递增，根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，因为，所以，即，解可得，故答案为：【跟踪训练4-3】（2020江苏模拟）已知是定义在上的奇函数，且对任意实数恒有，当，时，（1）求证：函数的周期是4；（2）求的值；（3）当，时，求的解析式【分析】（1）结合已知及周期的定义即可求解；（2）结合已知周期性及已知区间上的函数解析式进行转化，代入可求；（3）先把所求区间上的变量进行转化到已知区间上，然后结合奇函数的性质可求【解答】解：（1）证明：因为，故函数的周期；（2）（1）（2）（3）（4）（1）（2）（1）（2）（1）（2），（3）当，时，所以，所以，所以，【名师指导】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解
