1、第51讲 抛物线思维导图知识梳理1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2抛物线的标准方程和几何性质标准y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0题型归纳题型1 抛物线的定义
2、及应用【例1-1】(1)若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则OFP的面积为()A. B1 C. D2(2)设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_【解析】(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x1.又点P到焦点F的距离为2，由定义知点P到准线的距离为2.xP12，xP1.代入抛物线方程得|yP|2，OFP的面积为S|OF|yP|121.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.【答案】(1
3、)B(2)4【跟踪训练1-1】若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的M的坐标为_【解析】过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|MA|MN|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时M(2,2)【答案】(2,2)【跟踪训练1-2】(2019襄阳测试)已知抛物线yx2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|NF|，则|MF|_.【解析】如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|NF|，在RtNHM中，|NM|NH|，则NMH45.在MFK中，FMK45，所以|M
4、F|FK|.而|FK|1.所以|MF|.【答案】【名师指导】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径题型2 抛物线的标准方程与几何性质【例2-1】(1)(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2 B3C4 D8(2)(2019武汉调研)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|6，则此抛物线方程为()Ay29xBy26xCy23xDy2x【解析】(1)抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，
5、由已知得椭圆1的一个焦点为，3pp，又p0，p8.(2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由抛物线定义得：|BD|a，故BCD30，在直角三角形ACE中，因为|AE|AF|6，|AC|63a，2|AE|AC|，所以63a12，从而得a2，|FC|3a6，所以p|FG|FC|3，因此抛物线方程为y26x.【答案】(1)D(2)B【跟踪训练2-1】(2020福建厦门一模)若抛物线x2ay的焦点到准线的距离为1，则a()A2 B4C2 D4【解析】选Cx2ay2y，p1，a2，故选C.【跟踪训练2-2】已知抛物线x22py(p0)的焦点为
6、F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_【解析】FPM为等边三角形，则|PM|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M.因为焦点F，FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x24y.【答案】x24y【名师指导】1求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2ax(a0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2ay(a0)，这样就减少了不必要的讨论2抛
7、物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算题型3 直线与抛物线的位置关系【例3-1】(2019全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2，又|AF|BF|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y
8、22y2t0.所以y1y22.从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.【跟踪训练3-1】已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yy4(x1x2)，k.设AB中点为M(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足为A，B，则|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0，y0)为AB中点，M为AB的中点，MM平行于x轴，y1y22，k2.【答案】2【跟踪训练3-2】设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和
9、为2.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程【解】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x22，故直线AB的斜率k1.(2)由y，得yx.设M(x3，y3)，由题设知x31，于是M.设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(1,1m)，|MN|.将yxm代入y，得x22x2m0.由48m0，得m，x1,21.从而|AB|x1x2|2.由题设知|AB|2|MN|，即，解得m.所以直线AB的方程为yx.【名师指导】1直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决2解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法
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