1、第42讲 空间向量及其运算和空间位置关系（讲）思维导图知识梳理1空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在R，使ab共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb空间向量基本定理及推论定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z使得pxaybzc.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使xyz且x
2、yz12数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积：ab|a|b|cosa，b；abab0(a，b为非零向量)；设a(x，y，z)，则|a|2a2，|a|.(2)空间向量的坐标运算：a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量和ab(a1b1，a2b2，a3b3)向量差ab(a1b1，a2b2，a3b3)数量积aba1b1a2b2a3b3共线aba1b1，a2b2，a3b3(R，b0)垂直aba1b1a2b2a3b30夹角公式cosa，b3直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量(2)平面的法
3、向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一4空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1kn2(kR)l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0lnmnkm(kR)平面，的法向量分别为n，mnmnkm(kR)nmnm0题型归纳题型1 空间向量的线性运算【例1-1】（2019秋龙岩期末）如图所示，在平行六面体中，是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是ABCD【分析】根据是的中点，即可得出，然后进行向量的数乘运算即可【解答】解：是的中点，故选：【
4、例1-2】（2019秋湘西州期末）如图已知正方体中，是的中点，则A，B，C，D，【分析】设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，根据条件得解得，【解答】解：正方体，棱长为1，以为原点，以，分别为，轴建立空间直角坐标系，所以，0，0，1，0，0，因为，所以，1，0，0，解得，故选：【跟踪训练1-1】（2019秋咸阳期末）已知空间四边形中，点在线段上，且，点为的中点，则ABCD【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算法则，用，表示出即可【解答】解：如图空间四边形中，点在上，且，又为的中点，故选：【跟踪训练1-2】（2019秋濮阳期末）如图，是三棱锥的底面的重心，若、
5、，则的值为ABCD1【分析】可想着再用，表示，根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则，从而便可得到，由此可求出【解答】解：如图，连结，是三棱锥的底面的重心，、，故选：【名师指导】进行向量的线性运算，有以下几个关键点(1)结合图形，明确图形中各线段的几何关系(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立题型2 共线、共面向量定理的应用【例2-1】（2020春和平区期中）已知空间向量，1，且，则实数ABCD6【分析】由，可设，可得，解出即可得出【解答】解：，可设，解得故选：【例2-2】（2019秋吉安期末）在四面体中，空间的一点满足，若
6、共面，则ABCD【分析】利用向量共面基本定理即可得出结论【解答】解：由共面知，解得故选：【例2-3】（2019秋驻马店期末）已知空间三点，1，3，5，在一条直线上，则实数的值是A2B4CD【分析】空间三点，1，3，5，在一条直线上，可得存在实数，使得，即可得出【解答】解：，2，4，空间三点，1，3，5，在一条直线上，则存在实数，使得，解得，故选：【跟踪训练2-1】（2019秋资阳期末）已知，若，则ABCD【分析】由，可得存在实数使得，即可得出【解答】解：，存在实数使得，解得，则故选：【跟踪训练2-2】（2019秋内蒙古期末）已知点，2，4，三点共线，则 【分析】利用向量共线定理即可的【解答】1
7、解：因为，三点共线，所以可设因为，解得，所以解得所以故答案为：1【跟踪训练2-3】（2020春和平区期中）在下列条件中，使与，一定共面的是ABCD【分析】利用空间向量基本定理进行验证，可得时，、是共面向量，从而可得、四点共面【解答】解：在中，由，得，则、为共面向量，即、四点共面；对于，由，得，不能得出、四点共面；对于，由，得，所以、四点不共面；对于，由，得，其系数和不为1，所以、四点不共面故选：【名师指导】共线、共面向量定理的类比三点P，A，B共线空间四点M，P，A，B共面xy对空间任一点O，t对空间任一点O，xy对空间任一点O，x(1x)对空间任一点O，xy(1xy)题型3 空间向量数量积的
8、应用【例3-1】（2019秋岳麓区校级期末）棱长为2的正方体中，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点（1）证明：（2）求（3）求的长【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标；（1）利用，证明；（2）利用空间向量的数量积求出，；（3）利用空间向量的模长公式计算的值【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示；则，0，1，2，2，2，；（1），1，0，；（2）由知，2，；（3）为的中点，1，即的长为【例3-2】（2019秋天津期末）已知空间向量，若，则实数ABC1D2【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量公式，求得的值【解答】解：空间向量，若，求得实数，故
9、选：【跟踪训练3-1】（2019秋梅河口市校级期末）已知，1，1，则A18BCD【分析】可以求出，然后进行向量数量积的坐标运算即可【解答】解：，故选：【跟踪训练3-2】（2019秋秦皇岛期末）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，则的长为A3BC6D【分析】由，可得，即可得出【解答】解：，则故选：【名师指导】空间向量数量积的3个应用求夹角设向量a，b夹角为，则cos ，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)利用公式|a|2aa，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题题型4 利用空间向量证明平行或垂
10、直【例4-1】（2019秋汉中期末）在边长是2的正方体中，分别为，的中点应用空间向量方法求解下列问题（1）求的长（2）证明：平面；（3）证明：平面【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，代入长度公式求解；（2）求出的坐标表示，关键坐标关系判断，再利用线面平行的判定定理证明；（3）利用，可证直线垂直于、，再利用线面垂直的判定定理证明【解答】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则，0，0，2，2，0，0，分别为，的中点，1，1，0，（2），0，又平面，平面，平面（3），0，又，平面【跟踪训练4-1】如图，设为长方形所在平面外一点，在上，在上，若，用向量法证明：直线平面【分析】建立
11、空间坐标系，设，三点坐标，用此三点的坐标表示出，然后观察能否用表示出即可判断线面是否平行【解答】解：建立如图所示的空间坐标系，设，0，则，设，则，平面，平面，平面，平面【跟踪训练4-2】已知正方体的棱长为2，分别是，的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面【分析】建立空间直角坐标系，求出，的坐标，求出，（1）利用向量的数量积为0求出平面的法向量，通过向量的数量积推出，利用直线与平面平行的判定定理证明平面（2）求出平面的一个法向量与平面的法向量，通过向量共线证明，平面平面【解答】解：如图所示建立空间直角坐标系，则有，0，0，2，2，2，0，2，所以，2，0，2，（1）设，是平面的法向量，则，即，令，所以，因为，所以，又因为平面，即平面（2）因为，0，设，是平面的一个法向量由，得令，所以，所以，所以平面平面【名师指导】利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系(4)根据运算结果解释相关问题
