1、第34讲 等差数列及其前n项和（讲）思维导图知识梳理1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an1and(nN*，d为常数) (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)dnd(a1d)当d0时，an是关于n的一次函数(2)前n项和公式：Sn Snna1dn2n当d0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项常用结论已知an为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和(1)通项公式的推广：
2、anam(nm)d(n，mN*)(2)在等差数列an中，当mnpq时，amanapaq(m，n，p，qN*)特别地，若mn2p，则2apaman(m，n，pN*)(3)ak，akm，ak2m，仍是等差数列，公差为md(k，mN*)(4)Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等差数列，公差为n2d.(5)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(6)若an是等差数列，则也成等差数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的.(7)若项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd；.(8)若项数为奇数2n1，则S2n1(2n1)an；S奇S偶an；.(9)在等差数列a
3、n中，若a10，d0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a10，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.题型归纳题型1 等差数列的基本运算【例1-1】（2020春新华区校级期末）在等差数列中，若，则公差ABC3D【分析】利用等差数列的通项公式直接求解【解答】解：因为，所以故选：【例1-2】（2020春黄冈期末）若等差数列满足，则数列的首项A20BC22D【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出数列的首项【解答】解：等差数列满足，解得，数列的首项故选：【例1-3】（2020春乐山期末）已知等差数列中，公差，则与的等差中项为ABCD6【分析】根据等差中项的定义即可得出，的等差中项为，然
4、后根据等差数列的通项公式即可得出的值【解答】解：，与的等差中项为故选：【跟踪训练1-1】（2020春合肥期末）若为等差数列，是数列前项和，则该数列的公差为A21B2C3D4【分析】由等差数列的前项和公式即可得出，然后解出即可【解答】解：根据等差数列的前项和公式得：，解得故选：【跟踪训练1-2】（2020春资阳期末）已知等差数列的公差为，则A2B3C6D9【分析】由题意利用等差数列的性质，求得的值【解答】解：等差数列的公差为，则，故选：【跟踪训练1-3】（2020春常德期末）等差数列中，则A14B17C20D23【分析】由题意利用等差数列的通项公式，求出首项和公差，可得的值【解答】解：等差数列中
5、，则，故选：【名师指导】等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想(2)求通项a1和d是等差数列的两个基本元素(3)求特定项利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解(4)求前n项和利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解题型2 等差数列的判定与证明【例2-1】（2020山东模拟）已知数列，且求证：数列是等差数列，并求；令，求数列的前项和【分析】对两边同时减去1，整理得到，然后两边同时取倒数得到，即，进而可证数列是等差数列，结合等差数列的定义可得到，整理即可得到的表达式先根据中的的表达式表示出，然后根据数列求和的裂项法求得答案【解答
6、】解：故数列是公差为的等差数列而，由知故【跟踪训练2-1】（2020春天心区校级期末）已知等差数列的前三项依次为，4，前项和为，且（1）求及的值（2）已知数列满足，证明数列是等差数列，并求其前项和【分析】（1）设该等差数列为，由等差中项可得的方程，解得，可得首项、公差，再由求和公式可得；（2）运用等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求结论【解答】解：（1）设该等差数列为，则，由已知有，得，公差，所以，由，得，解得或（舍去），故，；（2）证明：由（1）得，则，故，即数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以【名师指导】等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等
7、于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列 题型3 等差数列的性质及应用【例3-1】（2020春赤峰期末）在等差数列中，则A8B9C10D11【分析】根据等差数列的性质可得：，即可求出【解答】解：，则，故选：【例3-2】（2020春南岗区校级期末）设等差数列的前
8、项和为，若，则A27B33C36D45【分析】由题意利用等差数列的性质，求出的值【解答】解：等差数列的前项和为，若，成等差数列，故，即，求得，故选：【例3-3】（2020春运城期末）设等差数列满足：，公差，其前项和为若数列也是等差数列，则的最小值为A3B2C5D6【分析】由题意可得：，即，公差，解得可得代入变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：由题意可得：，即，公差，解得数列是等差数列，则，当且仅当时取等号，的最小值为2故选：【跟踪训练3-1】（2020春上高县校级期末）设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若，则AB11C12D13【分析】借助于等差数列下标性质和求和公式，将项的比值化
9、为和的比值，再把的值代入计算即可【解答】解：，分别为等差数列和的前项和，且，故选：【跟踪训练3-2】（2020春安徽期末）在等差数列中，则ABCD0【分析】由已知结合等差数列的性质即可直接求解【解答】解：由等差数列的性质可得，则故选：【跟踪训练3-3】（2020春蚌埠期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，若，则ABCD【分析】根据题意，分析可得，又由等差数列的前项和公式和等差数列的性质可得；即可得答案【解答】解：根据题意，等差数列和中，若，则有，又由；故；故选：【跟踪训练3-4】（2020春马鞍山期末）在数列中，若，则此数列前项和的最小值为ABCD3【分析】令，解得进而可得此数列前
10、项和的最小值为【解答】解：令，解得则此数列前项和的最小值为故选：【跟踪训练3-5】（2020春沙坪坝区校级期末）已知等差数列，其前项和为，若，则的最大值为A12B24C36D48【分析】利用等差数列通项公式求出，求出等差数列的前项和，由此能求出的最大值【解答】解：等差数列，其前项和为，解得，时，取最大值36故选：【跟踪训练3-6】（2020哈尔滨模拟）等差数列，的前项和分别为，若，则【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解【解答】解：由为等差数列可得，同理可得，所以故答案为：【跟踪训练3-7】（2020昆山市模拟）已知和均为等差数列，若，则的值是 【分析】由等差数列的性质，等差中项的
11、特点可得，所求的两项的和用已知的项表示可得其结果【解答】解：因为和均为等差数列，所以，所以，故答案为：12【名师指导】1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an；是首项为a1，公差为的等差数列 2.求等差数列前n项和Sn及最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
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