1、第30讲 平面向量的数量积（达标检测）A组应知应会1（2020春隆回县期末）已知，则A8B7CD【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积公式求解即可【解答】解：，则故选：2（2020春商洛期末）已知向量，若，则ABCD【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由，利用向量垂直的性质能求出【解答】解：向量，解得故选：3（2020春汉台区校级月考）已知向量，且，则A5BCD4【分析】根据即可求出，从而可得出的坐标，从而可得出的值【解答】解：，解得，故选：3（2020春五华区校级期末）已知单位向量，满足，则AB1CD0【分析】对条件式两边平方计算，再计算【解答】解：是单位向量，故，故选：4（2
2、020贵阳模拟）已知非零向量满足，且，则与的夹角为ABCD【分析】根据列方程得出，再代入向量的夹角公式即可得出答案【解答】解：，即，故选：5（2020春兴宁区校级期末）已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为ABCD【分析】根据向量数量积公式转化求解即可【解答】解：因为单位向量与的夹角为，所以向量在向量方向上的投影为；故选：6（2020春内江期末）已知向量，若，则A14BC10D6【分析】通过向量的共线与垂直，求出，然后求解向量的数量积即可【解答】解：向量，可得，解得，可得，解得，则故选：7（2020石家庄模拟）设圆的半径为1，是圆上不重合的点，则的最小值是ABCD【分析】用表示出，
3、作，垂足为，设，用，表示出即可得出最值【解答】解：，由题意可知，均为单位向量，故，连接，作，垂足为，设，则，当，时，取得最小值故选：8（2020春驻马店期末）已知，若，则最大值为ABCD【分析】由平面向量数量积的定义可知，设，则，结合平面向量数量积的坐标运算和，可得，若令，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，于是当、与三点共线位于和的中间），且点在的延长线上时，最大，为，从而得解【解答】解：，即设，则，化简整理得，令，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，当、与三点共线位于和的中间），且点在的延长线上时，最大，为故选：9（2020春湖北期末）已知向量，满足，且对任意的实数，不等式恒成立，设的夹角为，
4、则的值为ABCD【分析】根据条件，对两边平方，进行数量积的运算即可得出，从而得出，进而得出，从而可求出的值【解答】解：，的夹角为，且对任意的实数，不等式恒成立，整理得，且，故选：10（多选）（2020青岛模拟）已知向量，设的夹角为，则ABCD【分析】根据题意，求出、的坐标，据此分析选项，综合即可得答案【解答】解：根据题意，则，依次分析选项：对于，则不成立，错误；对于，则，即，正确；对于，不成立，错误；对于，则，则，则，正确；故选：11（多选）（2020山东模拟）在平行四边形中，若为线段的中点，则ABCD【分析】画出图形，求出相关点的坐标，通过向量的数量积求解即可【解答】解：在平行四边形中，若为
5、线段中点，建立如图所示的坐标系，则，则，可得，则；故选：12（2020春运城期末）已知，且，则与夹角为 【分析】根据向量夹角的余弦公式即可得出，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角【解答】解：，且，与的夹角为故答案为：13（2020春上高县校级期末）已知向量，若，则实数的值为 【分析】可以得出，然后根据即可得出，从而解出即可【解答】解：，解得故答案为：14（2020宁波模拟）已知所在平面内的两点，满足：，是边上的点，若，则 【分析】由题意可判断是的外心，是的垂心，结合，及可判断为的中点，从而可计算【解答】解：，即，同理可得：，是的垂心，是的外心，下面证明：，延长交圆于，则，又，同理可得：，四边形
6、是平行四边形，设的中点为，则，又，与重合，故，故答案为：15（2020春湖北期末）已知，则【分析】两边平方即可求出的值【解答】解：，即，故答案为：16（2020春凉山州期末）已知，（1）求；（2）求与的夹角【分析】（1）根据即可得出，进行数量积的运算即可求出；（2）可设与的夹角为，然后可求出的值，根据求出的值，从而可得出的值，进而得出的值【解答】解：（1），；（2）设与的夹角为，由（1）与得，且，17（2020春辽阳期末）已知单位向量，的夹角为，向量，向量（1）若，求的值；（2）若，求【分析】（1）由题意利用两个向量共线的性质，求出的值（2）由题意利用两个向量垂直的性质，求出的值，可得，从而求
7、出【解答】解：（1）单位向量，的夹角为， 与 不共线向量，向量，若，则，（2）若， ，求得，18（2020春泸州期末）设平面向量，（）求的值；（）若且，求实数的值【分析】（）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，求得的坐标，可得它的模（）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值【解答】解：（）向量， 0，（）若且，实数19（2020春新余期末）如图，在中，已知，为线段中点，为线段中点（1）求的值；（2）求，夹角的余弦值【分析】（1）建立坐标系，求出相关向量，利用向量的数量积求解即可（2）求出，的坐标，利用向量的数量积求解两个向量的夹角【解答】解：（1）依题意可知为直角三角形
8、，如图建立坐标系：则，因为为的中点，故，（2）由为线段中点可知，20（2020春滨州期末）如图，在中，为边上的一点，且与的夹角为（1）设，求，的值；（2）求的值【分析】（1）用表示出即可得出，的值；（2）表示出，再计算的值【解答】解：（1），（2），B组强基必备1（2020春焦作期末）在中，点，在线段上，当点在线段上运动时，总有，则一定有ABCD【分析】由题意画出图形，设，由，得，代入，再令，结合已知转化为关于的不等式，再由判别式恒小于等于0求得的值，然后利用数量积的几何意义可得，则答案可求【解答】解：如图，设，由，得，又，即有，令，则，即恒成立可得化为，则，即在上的投影为的中点故选：2（20
9、20春桃城区校级期中）已知平面单位向量的夹角为，向量满足，若对任意的，记的最小值为，则的最大值为ABCD【分析】由题意设，化为，它表示圆；由表示该圆上的点到点的距离，即到直线的距离；得出距离的最小值，求得的最大值为【解答】解：平面单位向量的夹角为，设，由得，化简得，它表示以点，为圆心，以为半径的圆；又表示圆上的点到点的距离，即到直线的距离；距离的最小值为，由圆心，到直线的距离为，则的最大值为故选：3（2020镇海区校级模拟）已知平面向量，满足，若平面向量，且，则的最小值是 【分析】由，可知，于是可分别以和为横、纵轴建立平面直角坐标系，此外，不妨设，则，于是有，而，且，所以点的轨迹是以4为焦距的
10、双曲线的右支再设的夹角为，可推知，的夹角为，将其代入，可得，最后结合双曲线的定义、平面向量的减法运算、勾股定理和均值不等式等可求得的最小值【解答】解：，即，不妨令，由于，所以，如图所示，分别以和为横、纵轴建立平面直角坐标系，则，且，点的轨迹是以4为焦距的双曲线的右支，如图，设的夹角为，则，即，的夹角为，当且仅当即时，取得等号故答案为：4（2019江苏三模）在平面四边形中，若，则的最小值为 【分析】以为坐标原点，以为轴，以为轴建立如图坐标系，设可以推出点在圆上，然后将的最小值的问题，根据三角形相似转化为的问题，借助三角形的两边之和大于第三边即可得到的最小值【解答】解：以为坐标原点，以为轴，以为轴建立如图坐标系，设则，所以，即，即点在以为圆心，以2为半径的圆上，取，则，所以，所以，即，所以取得最小值即取得最小值，根据三角形的两边之和大于第三边，故填：
