1、第30讲 平面向量的数量积（讲）思维导图知识梳理1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角(2)范围：设是向量a与b的夹角，则0180.(3)共线与垂直：若0，则a与b同向；若180，则a与b反向；若90，则a与b垂直2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则|a|b|cos_叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos_叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积3.向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)
2、(ab)cacbc.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20题型归纳题型1 平面向量数量积的运算【例1-1】（2020春南岗区校级期末）已知向量，满足，则A0B2C3D4【分析】根据平面向量数量积的运算法则即可得解【解答】解：故选：【例1-2】（2020春临渭区期末）在中，为线段的中点，则ABC3D4【分析】以，为基底，分别表示，即可求解【解答】解：为线段的中点，又，则，故选：【跟踪训练1-1】（2020春泉州期末）平行四边形中，是线段的中点，则A0B2C
3、4D【分析】根据条件即可得出，从而得出，然后进行数量积的运算即可【解答】解：如图，根据题意：，且，故选：【跟踪训练1-2】（2020春道里区校级期末）已知，满足，的夹角为，则 【分析】直接利用向量的数量积公式化简求解即可【解答】解：，满足，的夹角为，故答案为：【名师指导】求非零向量a，b的数量积的3种方法方法适用范围定义法已知或可求两个向量的模和夹角基底法直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解坐标法已知或可求两个向量的坐标；已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标
4、法求数量积题型2 平面向量数量积的应用【例2-1】（2020春北海期末）已知向量，的夹角为，则A1BC3D2【分析】利用向量的数量积公式求将求出的值代入代数式即得【解答】解：向量，的夹角为，则，故选：【例2-2】（2020春广东期末）已知平面向量，则与的夹角为ABCD【分析】根据条件可求出，然后即可求出的值，从而得出与的夹角【解答】解：，且，故选：【例2-3】（2020太原二模）已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则ABCD【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，求得的值【解答】解：是两个非零向量，其夹角为，若，则，则，故选：【跟踪训练2-1】（2020春黔南州期末）已知向
5、量，满足，则A2B3C4D6【分析】根据平面向量数量积的运算法则即可得解【解答】解：因为，所以故选：【跟踪训练2-2】（2020春赤峰期末）已知，是单位向量，若，则与的夹角为ABCD【分析】由题意利用两个向量数量积公式，求出与的夹角的余弦值，可得它的与的夹角【解答】解：已知，是单位向量，若，设与的夹角为，即，求得，故选：【跟踪训练2-3】（2020春新余期末）已知向量、满足，向量，的夹角为，则的值为A4B3C2D【分析】根据条件可求出，从而根据即可求出答案【解答】解：，且，故选：【跟踪训练2-4】（2020春广州期末）已知，若，则 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式求出的
6、值，可得的值【解答】解：已知，若，则，则，故答案为：【跟踪训练2-5】（2020春金安区校级期末）已知向量，且，则ABC6D8【分析】利用平面向量坐标运算法则求出，再由，利用向量垂直的性质能求出的值【解答】解：向量，解得故选：【跟踪训练2-6】（2020临汾模拟）已知向量，向量在向量方向上的投影为若，则实数的值为ABCD【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得实数的值【解答】解：向量，向量在向量方向上的投影为，若，则，故选：【跟踪训练2-7】（2020春咸阳期末）已知向量，若，则实数的值为AB1CD2【分析】利用平面向量坐标运算法则，求出，再由，能求出实数的值【解答】
7、解：向量，解得实数故选：【跟踪训练2-8】（2020春密云区期末）已知向量与的夹角为，当时，实数为A1B2CD【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值【解答】解：向量与的夹角为，由知，解得故选：【跟踪训练2-9】（2020春垫江县校级期末）已知，且，则【分析】推导出，由此能求出结果【解答】解：，且，故答案为：【跟踪训练2-10】（2020徐州模拟）已知，若，则实数的值为 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值【解答】解：已知，若，则实数，故答案为：5【跟踪训练2-11】（2020江苏模拟）在中，若角的最大值为，则实数的值是 【分析】由得出，设三角所对的边
8、分别为、，求出，再利用角的最大值得出方程求出的值【解答】解：中，所以，即，所以，设三角所对的边分别为、，则，所以，若角的最大值为，则，令，解得故答案为：3【名师指导】1.求平面向量模的2种方法公式法利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算几何法利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解2.求平面向量夹角的2种方法定义法当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角时，需求出ab及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos 求得坐标法若已知a(x1，y1)与b(x2，y2)，则cos a，b，a，b0，3利用坐
9、标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可4已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数题型3 平面向量与三角函数的综合问题 【例3-1】（2020春辽阳期末）已知向量，向量，函数（1）求的最大值；（2）若，是关于的方程的两根，且，求及的值【分析】（1）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合三角函数的最值求解即可（2）利用方程的根，推出三角函数关系式，然后转化求解表达式的值即可【解答】解：（1）向量，向量
10、，函数，所以函数的最大值为2（2），是关于的方程的两根，即与，是关于的方程的两根，所以，因为，所以，解得所以【例3-2】（2020春北海期末）已知向量，函数（1）求函数的单调递增区间；（2）若，时，求函数的最值【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可（2）通过的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可【解答】解：（1）由，可得，单调递增区间为：，（2）若当，时，即，则，所以函数的最大值、最小值分别为：，【跟踪训练3-1】（2020春湛江期末）已知向量，（1）若，求的值；（2）若，则函数的值域【分析】（1）根据平面向量平行的坐
11、标运算以及二倍角公式进行求解即可；（2）先结合平面向量数量积的坐标运算和辅助角公式将函数化简为，再结合正弦函数的图象与性质求解即可【解答】解：（1），即，（2），函数的值域为【跟踪训练3-2】（2020春沈阳期末）已知，（1）若，求向量在向量方向的投影的数量（2）若，且，求向量的坐标【分析】（1）先将等式的左边展开化简运算可得，再根据平面向量数量积的定义求解即可；（2）把代入的坐标中可得向量，设，根据平面向量的模长和数量积的运算法则可列出关于和的方程组，解之即可【解答】解：（1），向量在向量方向的投影的数量为（2），设，则，由解得，或故向量的坐标为或【名师指导】向量与三角函数综合问题的特点与解题策略(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误
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