1、课时过关检测(五十二) 双曲线A级基础达标1“方程1表示双曲线”的一个必要不充分条件为()Am(，1)(1，)Bm(，2)(1，)Cm(，2)Dm(1，)解析：A由方程1表示双曲线，知(m1)(m2)0，m(，2)(1，)，故它的一个必要不充分条件为m(，1)(1，)，故选A2已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为xy0，则该双曲线实轴长为()A2B1CD2解析：A由题意知，渐近线方程为yx，则，又焦点为F(2,0)，即c2，所以c2a2b24a24，则a21，即a1或1(舍去)，所以实轴长为2a2，故选A3设双曲线C：1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右
2、支上的一点，且PF1PF2，则tan PF2F1()ABC2D解析：A易知c225a2，则c5a，|F1F2|2c10a因为P为C右支上的一点，所以|PF1|PF2|2a因为PF1PF2，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，则(|PF2|2a)2|PF2|2100a2，解得|PF2|6a(负值舍去)，所以|PF1|8a，故tanPF2F1故选A4(2020浙江高考)已知点O(0,0)，A(2,0)，B(2,0)设点P满足|PA|PB|2，且P为函数y3图象上的点，则|OP|()ABCD解析：D由|PA|PB|2|AB|4，知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x21(x1)，又y
3、3，所以x2，y2，所以|OP| ，故选D5(多选)设F1，F2分别是双曲线C：1的左、右焦点，且|F1F2|4，则下列结论正确的有()Am2B当n0时，C的离心率是2CF1到渐近线的距离随着n的增大而减小D当n1时，C的实轴长是虚轴长的两倍解析：AC对于选项A：由双曲线的方程可得a2mn，b2mn，所以c2a2b2mnmn2m，因为2c4，所以c2，所以c22m4，可得m2，故选项A正确；对于选项B：当n0时，双曲线C：1，此时a2b22，c24，所以离心率e，故选项B不正确；对于选项C：双曲线C：1中，由选项A知：m2，a22n，b22n，双曲线C的渐近线方程为yx，不妨取焦点F1(2,0
4、)，则F1到渐近线的距离db，所以F1到渐近线的距离随着n的增大而减小，故选项C正确；对于选项D：当n1时，a，b1，所以实轴长为2，虚轴长为2，不满足C的实轴长是虚轴长的两倍，故选项D不正确故选A、C6(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x21的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若ABF1为正三角形，则()Ab2BC的焦距为2CC的离心率为DABF1的面积为4解析：ACD设|AF2|t，则|AF1|2t，|F1F2|t，离心率e，选项C正确因此 ，b2，选项A正确|F1F2|22，选项B错误ABF1的面积为|F1F2|4，选项D正确故选A、C、D7已知双曲线C：1(a0，b0
5、)的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点，|PF|PO|2a，则双曲线C的离心率的取值范围是_解析：设双曲线C的右焦点为F1，由双曲线的定义可知|PF|PF1|2a，又|PF|PO|2a，所以|PO|PF1|，即点P在OF1的垂直平分线上，所以P点的横坐标为，因为点P在双曲线上，显然有a，即e2，所以离心率e的取值范围是2，)答案：2，)8已知点A在双曲线1(a0，b0)上，点O是坐标原点，直线OA的斜率为，若线段OA的垂直平分线经过双曲线的顶点，则双曲线的渐近线方程为_解析：不妨设点A在第一象限，此时线段OA的垂直平分线经过双曲线的右顶点B(a,0)，如图所示，连接AB，则|AB
6、|OB|a，根据直线OA的斜率为，可得直线OA的倾斜角为30，所以直线AB的倾斜角为60，所以点A，又由点A在双曲线1上，可得1，可得3a25b2，即，故双曲线的渐近线方程为yx答案：yx9已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点为(，0)，一条渐近线方程为2xy0(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知倾斜角为的直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为4，求直线l的方程解：(1)由焦点可知c，又一条渐近线方程为2xy0，所以2，由c2a2b2可得5a24a2，解得a21，b24，故双曲线C的标准方程为x21(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点的坐标为(x0,4
7、)，则x1，x1，得xx，即kx0，又ktan1，所以x01，所以直线l的方程为y4(x1)，即xy30B级综合应用10(多选)已知椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点若F1PF2，则下列各项正确的是()A2Be1e2CeeDee1解析：BD因为0且|，所以MF1F2为等腰直角三角形设椭圆的半焦距为c，则cba，所以e1在三角形PF1F2中，F1PF2，设PF1x，PF2y，双曲线C2的实半轴长为a，则故xyc2，故(xy)2x2y2xyxy，所以
8、(a)2，即e2，故，e1e2，ee2，ee1，故选B、D11已知双曲线C：1(k0)的左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线C的焦距为10，则k_；若点P在双曲线C上，且cosF1PF2，则F1PF2的面积为_解析：由题意，知2c10，所以c5，所以k525，所以k20设|PF1|m，|PF2|n，则|mn|4在F1PF2中，由余弦定理，知m2n22mncosF1PF2100由及cosF1PF2得mn30又sinF1PF2，所以SmnsinF1PF25答案：20512试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y2x的双曲线方程_解析：渐近线方程为2xy0，设双曲线方程为4x2y2，
9、0，双曲线的方程为x21(或其他以y2x为渐近线的双曲线方程)答案：x21(或其他以y2x为渐近线的双曲线方程)13在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线ykx交双曲线C于M，N两点(1)若M(2,3)，四边形MF1NF2的面积为12，求双曲线C的方程；(2)若k，且四边形MF1NF2是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围解：(1)因为直线ykx交双曲线C于M，N两点，所以M，N两点关于原点对称，从而四边形MF1NF2是平行四边形，设双曲线C的焦距为2c，则四边形MF1NF2的面积S22c312，解得c2，从而F1(2,0)，F2(2,0)，所以|M
10、F2|3，|MF1|5，于是2a|MF1|MF2|2，解得a1，所以b，所以双曲线C的方程为x21(2)设M(x1，y1)，则N(x1，y1)由得x2x21因为(x1c，kx1)(x1c，kx1)c2(k21)x0，所以c2(k21)0，化简得k2因为k23，所以3由3得e48e240，解得1e1；由得3e48e240，解得e因此，e的取值范围为，1C级迁移创新14已知F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sinPF2F13sinPF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为()A(1,2)B(1,3) C(3，)D(2,3)解析：A在PF1
11、F2中，sinPF2F13sinPF1F2，由正弦定理得，|PF1|3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|PF2|2a，所以|PF1|3a，|PF2|a，在PF1F2中，由|PF1|PF2|F1F2|，得3aa2c，即2ac，所以e2，又e1，所以1e2，故选A15(2021新高考卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|MF2|2记M的轨迹为C(1)求C的方程；(2)设点T在直线x上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|TB|TP|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和解：(1)因为|MF1|MF
12、2|2|F1F2|2，所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支设双曲线的方程为1(a0，b0)，半焦距为c，则2a2，c，得a1，b2c2a216，所以点M的轨迹C的方程为x21(x1)(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为ytk1(k10)，直线PQ的方程为ytk2(k20)，由得(16k)x22k1x2160设A(xA，yA)，B(xB，yB)，易知16k0，则xAxB，xAxB，所以|TA|，|TB|，则|TA|TB|(1k)(1k)(1k)同理得|TP|TQ|因为|TA|TB|TP|TQ|，所以，所以k16kk16kk16kk16k，即kk，又k1k2，所以k1k2，即k1k20故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0
