1、数 学 必修 人教A版新课标导学第二章 点、直线、平面之间的位置关系 这是我国著名的大学，设计风格新颖设计师独特创意的背后却是缜密的几何思维，类似许许多多的建筑设计包含了线、面的位置关系的应用，相交、平行、垂直关系随处可见现实生活中类似这样的位置关系是比较常见的，如何准确判断这些位置关系？这就是本章将要研究的点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系是高中数学立体几何中的基础内容，在整个几何学中占有非常重要的地位，起着承前启后的作用2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案在西游记中，如来佛对孙悟空说
2、：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，大家说如来佛的手掌像什么？1平面描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限_的画法通常把水平的平面画成一个_，并且其锐角画成 45，且横边长等于其邻边长的_倍，如图 1 所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用_画出来，如图 2 所示延展 平行四边形 2 虚线 记法(1)用一个_，等来表示，如上图1中的平面记为平面(2)用两个大写的_(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如上图1中平面记为平面AC或平面BD(
3、3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如上图1中的平面记为平面ABC或平面_等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形_)来表示，如上图1中的平面可记为平面ABCD希腊字母 英文字母 BCD 顶点 归纳总结 习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面2点、线、面的位置关系的表示A是点，l，m是直线，是平面.文字语言符号语言图形语言A 在 l 上_A 在 l 外_A 在 内_A 在 外_l 在 内_Al Al A A l 文字语言符号语言图形语言l 在 外_或l，m 相交于 A_l，相交于 A_，相交于 l_l
4、 lmA lA l 归纳总结 从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“”或“”表示(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“”表示(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“”表示3公理1文字语言如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内图形语言符号语言Al，Bl，且 A，B_判断点在平面内判断直线在平面内作用用直线检验平面两点 l 4公理2文字语言过_的三点，有且只有一个平面图形语言符号语言A，B，C 三点_有且只有一个平面，使 A，B，C
5、确定平面作用证明点共面不共线 不共线 归纳总结(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现5公理3文字语言如果两个不重合的平面有一个_，那么它们有且只有一条过该点的公共_图形语言符号语言Pl 且_(1)判定平面相交(2)证明点共线作用(3)证明线共点公
6、共点 直线 Pl 归纳总结 公理3反映了两个平面的位置关系，条件可简记为“两面共一点”，结论是“两面共一线，且线过点，线唯一”公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面1下列说法：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50 m，宽是20 m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念其中正确说法的个数为()A1 B2 C3 D4解析 因为平面是无限延展的，故(1)错；平面是无厚度的，故(2)错；平面是无限延展的，不可度量，故(3)错；平面是平滑、无厚
7、度、无限延展的，故(4)正确A 2(2018永春一中高一期末)下列说法正确的是()A三点确定一个平面B四边形一定是平面图形C共点的三条直线确定一个平面D梯形一定是平面图形解析 A中三点共线时为直线，故A错误；B中四边形可为空间四边形，故B错误；C中共点的三条直线可能共面，也可能确定三个平面，故选D.D 3已知直线m平面，Pm，Qm，则()AP，Q BP，QCP，Q DQ解析 Qm，m，Q.Pm，有可能P，也可能有P.D 4空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定_个平面解析 可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面7 互动探究学案用符号语言表示下列语句，并画出
8、图形(1)三个平面、相交于一点P，且平面与平面交于PA，平面与平面交于PB，平面与平面交于PC；(2)平面ABD与平面BCD交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.命题方向1 文字、图形、符号三种语言的转化典例 1解析(1)符号语言表示：P，PA，PB，PC.图形表示：如图1所示(2)符号语言表示：平面ABD平面BCDBD，平面ABC平面ADCAC.图形表示：如图2所示规律方法 学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“”或“”，直线与平面间的位置关系只能用“”或“”由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区
9、别跟踪练习1(1)若 点 M 在 直 线 a 上，a 在 平 面 内，则 M、a、间 的 关 系 可 记 为_；(2)根据图，填入相应的符号：A_平面ABC，A_平面BCD，BD_平面ABC，平面ABC平面ACD_；(3)根据下列条件画出图形：平面平面MN，ABC的三个顶点满足条件AMN，B，BMN，C，CMN.Ma，a，M AC 解析 如图所示已知ABC在平面外，ABP，ACR，BCQ，如图求证：P、Q、R三点共线思路分析(1)P、Q、R三点分别在哪几个平面上？(2)在两个相交平面上的点，有什么特点？命题方向2 点共线问题典例 2解析 证法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面
10、ABC.由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上 P、Q、R三点共线证法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B面APR，C面APR，BC面APR.又Q面APR，Q，QPR.P、Q、R三点共线规律方法 证明多点共线的方法：(一)选择两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上；(二)证明这些点都在两个平面内，而两平面相交，因此这些点都在两平面的交线上跟踪练习2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线解析 由AA1CC
11、1，则AA1与CC1确定一个平面A1C.A1C平面A1C，而OA1C，O平面A1C.又A1C平面BC1DO，O平面BC1D.O点在平面BC1D与平面A1C的交线上又ACBDM，M平面BC1D且M平面A1C.又C1平面BC1D且C1平面A1C，平面A1C平面BC1DC1M，OC1M，即C1、O、M三点共线求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面解析 已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a、b、c和l共面证明：如图所示，因为ab，由公理2可知直线a与b确定一个平面，设为.命题方向3 点线共面问题典例 3因为laA，lbB，所以Aa，Bb，则A，B.又因为Al，
12、Bl，所以由公理1可知l.因为bc，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面，同理可知l.因为平面和平面都包含着直线b与l，且lbB，而由公理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面与平面重合，所以直线a，b，c和l共面规律方法(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2.(2)证明点线共面的常用方法 纳入平面法：先由公理2或其推论确定一个平面，再由公理1证明有关点线在此平面内 辅助平面法：先证明有关的点线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合跟踪练习3已知E、F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、BC的中点求证：A1、C1、E、F四点共面证明 在正方体 ABC
13、DA1B1C1D1 中，AA1CC1，四边形 ACC1A1 为平行四边形，A1C1AC.E、F 分别为 AB、BC 的中点，EFAC.A1C1EF.直线 A1C1 与 EF 确定一个平面，A1、C1、E、F 四点共面于平面.已知：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DFFCDGGA12.求证：直线EF、BD、HG交于一点思路分析 先证EF、HG一定相交于一点，再证这一点在直线BD上命题方向4 线共点问题典例 4解析 连接 EH、AC、FG.E、H 分别为 BC、AB 的中点，EH12AC.DFFC12，DGGA12，FGAC，FG13AC，EH
14、FG 且 EHFG，E、F、G，H 四点共面且 EFGH.EF 与 GH 相交设 EFGHO，则 OGH，OEF.GH平面 ABD，EF平面 BCD，O平面 ABD，O平面 BCD.平面 ABD平面 BCDBD，OBD，即直线 EF、BD、HG 交于一点规律方法 证明三线共点时，首先证明两条直线相交于一点，再证这一点在另一条直线上要证这一点在另一条直线上，可证这一点在以这条直线为交线的两个平面上跟踪练习4三个平面、两两相交，交于三条直线，即c，a，b，已知直线a和b不平行求证：a、b、c三条直线必过同一点解析 b，a，a，b，a、b不平行，a、b必相交，设abP，Pa，a，P，同理P，而c，P
15、c.a、b、c相交于一点P，即a、b、c三条直线过同一点文字语言、符号语言、图形语言三种语言的相互转换是立体几何学习中需逐步培养的重要基本功这项基本功扎实，就为立体几何学习打下了坚实的基础例如：下面是一些文字语言与符号语言的转换：Al，“点A在直线l上”，“直线l经过点A”，a，“直线a在平面内”，“平面经过直线a”；a，“直线a在平面外”l，“两平面与相交于直线l”，“l是平面与的交线”；转化思想在立体几何中的应用abP，“两直线a，b相交于点P”，“P是直线a与直线b的交点”；A，“点A在平面内”，“平面经过点A”学习过程中要训练用准确规范的语言描述几何图形的位置关系已知：a、b、c、d是
16、两两相交且不共点的四条直线求证：a、b、c、d共面解析(1)有三线共点的情况，如图设b、c、d三线相交于点K，与a分别交于N、P、M且Ka.Ka，K和a确定一个平面，设为.Na，a，N，NK，即b.同理，c，d，a、b、c、d共面典例 5(2)无三线共点情况，如图设adM，bdN，cdP，abQ，acR，bcS.adM，a，d可确定一个平面.Nd，Qa，N，Q.NQ，即b.同理，c，a、b、c、d共面由(1)(2)可知，a、b、c、d共面跟踪练习5如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于点M，RQ、DB的延长线交于点N，RP、DC的延长线交于点K.求证：M、N、K三点共线
17、解析 MPQ，直线PQ平面PQR，MBC，直线BC平面BCD，M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，M在平面PQR与平面BCD的交线上同理可证，N、K也在平面PQR与平面BCD的交线上 M、N、K三点共线已知A、B、C、D、E五点中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定共面吗？错解 因为A、B、C、D共面，所以点A在B、C、D所确定的平面内，因为B、C、D、E共面，所以点E也在B、C、D所确定的平面内，所以点A、E都在B、C、D所确定的平面内，即A、B、C、D、E五点一定共面错因分析 错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，实际上B、C、D三点
18、还可能共线对于条件所给的点的位置关系考虑不全面典例 6正解(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面内，因为B、C、D、E共面，所以点E在平面内，所以点A、E都在平面内，即A、B、C、D、E五点一定共面(2)如果B、C、D三点共线于l，若A、E都在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；若A、E中有且只有一个在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面1如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A平面MNB平面NQPC平面D平面MNPQ解析 MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，
19、所以不能记作平面MN.A 2用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是()AAl，l BAl，lCAl，l DAl，lB 3下面是一些结论的叙述语(A，B表示点，a表示直线，表示平面)：(1)A，B，AB；(2)A，A，A；(3)A，a，Aa；(4)Aa，a，A.其中结论和叙述方法都正确的个数是()A0 B1 C2 D3解析(3)正确(1)错，其中的AB应为AB.(2)错，其中，应该交于一条过A点的直线(4)错，因为点A可能是直线a与平面的交点B 4看图填空：(1)ACBD_；(2)平面AB1平面A1C1_；(3)平面A1C1CA平面AC_；(4)平面A1C1CA平面D1B1BD_.O A1B1 AC OO1 课时作业学案