1、专题28三角函数的图象与性质知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：三角函数的定义域题型二：三角函数的值域题型三：三角函数的周期性、奇偶性、对称性题型四：求三角函数的单调区间题型五：根据单调性求参数题型六：利用单调性比较大小及求值域培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.【考点预测】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysin x，
2、x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0).(2)余弦函数ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，1)，(2，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx xk值域1，11，1R最小正周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无【常用结论】1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可
3、化为yAsin x或yAtan x的形式，偶函数一般可化为yAcos xb的形式.3.对于ytan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kZ)内为增函数.【方法技巧】1.三角函数定义域的求法：求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解2.三角函数值域的不同求法把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域3.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yA
4、cos x的形式4.周期的计算方法：利用函数yAsin(x)，yAcos(x)(0)的周期为，函数yAtan(x)(0)的周期为求解5.已知三角函数解析式求单调区间求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，可借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错6.已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解二、【题型归类】【题型一】三角函数的定义域【典例1】函数y的定义域为_【解析】要使函数有意义，则即故函数的定义域为.【典例2】函数y的定义域为_【解析】要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图
5、象，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.【典例3】函数ylg(sin x)的定义域为_.【解析】要使函数有意义，则即解得所以2kx2k(kZ)，所以函数的定义域为.【题型二】三角函数的值域【典例1】f(x)sin3xcos xsin xcos3x的最大值为()A. B. C. D.1【解析】f(x)sin3xcos xsin xcos3xsin xcos x(sin2xcos2x)sin 2xcos 2xsin 4x，f(x)sin3xcos xsin xcos3x
6、的最大值为.故选B.【典例2】当x时，函数y3sin x2cos2x的值域为_.【解析】因为x，所以sin x.又y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2，所以当sin x时， ymin，当sin x或sin x1时，ymax2.即函数的值域为.【典例3】函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_.【解析】设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.【题型三】三角函数的周期性、奇偶性、对称性【典例1】下列函数中，以为周期且在区间上单
7、调递增的是()Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x|【解析】A中，函数f(x)|cos 2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)|sin 2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)cos|x|cos x的周期为2，故C不正确；D中，f(x)sin|x|由正弦函数图象知，在x0和x0时，f(x)均以2为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确故选A.【典例2】函数f(x)3sin1，(0，)，且f(x)为偶函数，则_，f(x)图象的对称中心为
8、_【解析】若f(x)3sin1为偶函数，则k，kZ，即k，kZ，又(0，)，.f(x)3sin13cos 2x1，由2xk，kZ得x，kZ，f(x)图象的对称中心为，kZ.【典例3】设函数f(x)2sin，则下列叙述正确的是()Af(x)的最小正周期为2Bf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)在上的最小值为Df(x)的图象关于点对称【解析】对于A，f(x)的最小正周期为，故A错误；对于B，sin1，故B错误；对于C，当x时，2x，sin，2sin，f(x)在上的最小值为，故C正确；对于D，f2sin，f(x)的图象关于点对称，故D错误故选C.【题型四】求三角函数的单调区间【典例1】函数y|co
9、s x|的一个单调递增区间是()A，B0，C， D，2【解析】将ycos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y|cos x|的图象(如图)故选D.【典例2】设函数f(x)sin，x，则以下结论正确的是()A函数f(x)在上单调递减B函数f(x)在上单调递增C函数f(x)在上单调递减D函数f(x)在上单调递增【解析】由x得2x，所以f(x)先减后增；由x得2x，所以f(x)先增后减；由x得2x，所以f(x)单调递减；由x得2x，所以f(x)先减后增故选C.【典例3】函数f(x)sin的单调递减区间为_【解析】f(x)sinsinsin，由2
10、k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函数的单调递减区间为(kZ)【题型五】根据单调性求参数【典例1】若函数f(x)2sin xcos x2sin2xcos 2x在区间上单调递增，则正数的最大值为()A. B. C. D.【解析】方法一因为f(x)2sin xcos x2sin2xcos 2xsin 2x1在区间上单调递增，所以解得，所以正数的最大值是.故选B.方法二易知f(x)sin 2x1，可得f(x)的最小正周期T，所以解得.所以正数的最大值是.故选B.故选B.【典例2】若f(x)cos xsin x在a，a上是减函数，则a的最大值是()A BC D【解析】f(x)cos xsin x
11、sin，当x，即x时，ysin单调递增，则f(x)sin单调递减因为函数f(x)在a，a上是减函数，所以a，a，所以0a，所以a的最大值为.故选A.【典例3】若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_【解析】因为f(x)sin x(0)过原点，所以当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由已知得，解得.【题型六】利用单调性比较大小及求值域【典例1】已知函数f(x)2sin，设af，bf，cf，则a，b，c的大小关系是()Aacb BcabCbac Dbca【解析】af2sin ，bf2sin 2，cf2sin 2sin ，因为ysi
12、n x在上单调递增，且，所以cab.故选B.【典例2】函数f(x)3sin在区间上的值域为()A. B.C. D.【解析】当x时，2x，sin，故3sin，即此时函数f(x)的值域是.故选B.【典例3】下列关系式中正确的是()Asin 11cos 10sin 168Bsin 168sin 11cos 10Csin 11sin 168cos 10Dsin 168cos 10sin 11【解析】因为sin 168sin(18012)sin 12，cos 10sin(9010)sin 80，由正弦函数ysin x在0x90上是增函数，得sin 11sin 12sin 80，所以sin 11sin 1
13、68cos 10.故选C.三、【培优训练】【训练一】(多选)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！函数f(x)(iN*)的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是()A函数f(x)为周期函数，且最小正周期为B函数f(x)为奇函数C函数yf(x)的图象关于直线x对称D函数f(x)的导函数f(x)的最大值为7【解析】对于A，因为f(x)sin x，f(x)sin(x)sin xf(x)，所以不是函数yf(x)的最小正周期，故A错误；对于B，因为f(x)sin(x)sin xf(x)，且函数yf(x)
14、的定义域为R，所以函数yf(x)为奇函数，故B正确；对于C，因为f(x)sin(x)sin xf(x)，所以函数yf(x)的图象关于直线x对称，故C正确；对于D，f(x)cos xcos 3xcos 5xcos 13x，因为1cos x1，1cos 3x1，1cos 5x1，1cos 13x1，所以f(x)cos xcos 3xcos 5xcos 13x7，又f(0)7，所以函数yf(x)的最大值为7，故D正确.故选BCD.【训练二】如图，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1，y1)，角的终边与单位圆交于点B(x2，y2)，记f()y1y2.若角为锐角，则f()的取值范围是
15、_【解析】由题意可知y1sin ，y2sin sin，所以f()y1y2sin sinsin sin cos sin cos sin.又因为为锐角，即0，所以，所以sin，则f()，即f()的取值范围是.【训练三】已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；(2)若方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2，求cos(x1x2)的值【解析】(1)f(x)cos xsin x(2cos2x1)sin 2xcos 2xsin.当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为xk(kZ)
16、，所以当x(0，)时，对称轴为x.又方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2.所以x1x2，则x1x2，所以cos(x1x2)cossin，又f(x2)sin，故cos(x1x2).【训练四】已知函数f(x)sin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值【解析】(1)f(x)sin2xsin xcos xcos 2xsin 2xsin，所以f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)知，f(x)sin.由题意知xm，所以2x2m.要使得f(x)在区间上的最大值为，即sin在区间上的最大值为1，所以2m，即m.所以m的最小值为.【训练五
17、】已知f(x)sin2sincos.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若函数y|f(x)|m在区间上恰有两个零点x1，x2.求m的取值范围；求sin(x1x2)的值【解析】(1)f(x)sin2sincossincos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin，结合正弦函数的图象与性质，可得当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，函数单调递增，函数yf(x)的单调递增区间为(kZ)(2)令t2x，当x时，t，sin t，y(如图)要使y|f(x)|m在区间上恰有两个零点，m的取值范围为m或m0.设t1，t2是函数ym的两个零点，由正弦函数图象性质可知t1t2，即2x1
18、2x2.x1x2，sin(x1x2).【训练六】已知函数f(x)2sina1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)在(2)的条件下，求满足f(x)1，且x，的x的取值集合.【解析】(1)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)因为当x时，f(x)取得最大值，即f2sin a1a34.解得a1.(3)由f(x)2sin21，可得sin，则2x2k，kZ或2x2k，kZ，即xk，kZ或xk，kZ，又x，可解得x，所以x的取值集合为.四、【强化测试】【单选题】1. 下列函数中，周期为2的奇函数为()Aysin
19、 cos Bysin2xCytan 2x Dysin 2xcos 2x【解析】ysin2x为偶函数；ytan 2x的周期为；ysin 2xcos 2x为非奇非偶函数，故B，C，D都不正确故选A.2. f(x)tan xsin x1，若f(b)2，则f(b)()A0 B3C1 D2【解析】因为f(b)tan bsin b12，即tan bsin b1.所以f(b)tan(b)sin(b)1(tan bsin b)10.故选A.3. 下列关于函数y4sin x，x，的单调性的叙述，正确的是()A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在上是增函数，在及上是减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在
20、及上是增函数，在上是减函数【解析】函数y4sin x在和上单调递减，在上单调递增故选B.4. 已知函数f(x)sin(2x)，其中(0，2)，若f(x)f对于一切xR恒成立，则f(x)的单调递增区间是()A.(kZ) B.(kZ)C.(kZ) D.(kZ)【解析】因为f(x)f对xR恒成立，则f为函数f(x)的最大值，即22k(kZ)，则2k(kZ)，又(0，2)，所以，所以f(x)sin.令2x(kZ)，则x(kZ)故选B.5. 设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在上单调递减【解析】函数f(x
21、)cos的图象可由ycos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误故选D.6. 已知函数f(x)2sin(0)的最小正周期为4，则该函数的图象()A关于点对称 B关于点对称C关于直线x对称 D关于直线x对称【解析】函数f(x)2sin(0)的最小正周期是4，而T4，所以，即f(x)2sin.函数f(x)的对称轴为k，解得x2k(kZ)；令k0得x.函数f(x)的对称中心的横坐标为k，解得x2k(kZ)，令k1得f(x)的一个对称中心.故选B.7. 若函数f(x)sin xcos x在区间a，b上是减函数，且f(a)2，f(b)2，则函数g(x)cos xsi
22、n x在区间a，b上()A是增函数 B是减函数C可以取得最大值2 D可以取得最小值2【解析】f(x)sin xcos x2sin，g(x)cos xsin x2cos2sin.f(x)在区间a，b上是减函数，且f(a)2，f(b)2，不妨令a，b，则a，b2，故g(x)在a，b上既不是增函数，也不是减函数，g(x)在a，b上可以取得最小值2.故选D.8. 已知函数f(x)2sin(x)的图象经过点(0，1)，且关于直线x对称，则下列结论正确的是()Af(x)在上是减函数B若xx0是f(x)图象的对称轴，则一定有f(x0)0Cf(x)1的解集是，kZDf(x)图象的一个对称中心是【解析】由f(x
23、)2sin(x)的图象经过点(0，1)，得sin ，又|，所以，则f(x)2sin.因为f(x)的图象关于直线x对称，所以存在mZ使得m，得(mZ)，又01，所以，则f(x)2sin.令2nx2n，nZ，得4nx4n，nZ，故A错误；若xx0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在xx0处取得极值，所以一定有f(x0)0，故B错误；由f(x)1得4kx4k，kZ，故C错误；因为f0，所以是其图象的一个对称中心，故D正确选D【多选题】9. 下列函数中，最小正周期为的是()A.ycos|2x| B.y|cos x|C.ycos D.ytan【解析】A中，ycos |2x|cos 2x，最小正周期为；B
24、中，由图象知y|cos x|的最小正周期为；C中，ycos的最小正周期T；D中，ytan的最小正周期T.故选ABC.10. 已知函数f(x)sin xcos x(12sin2x)，则有关函数f(x)的说法正确的是()A.f(x)的图象关于点对称B.f(x)的最小正周期为C.f(x)的图象关于直线x对称D.f(x)的最大值为【解析】由题可知f(x)sin 2xcos 2xsin.当x时，2x，故函数f(x)的图象关于点对称，故A正确；函数f(x)的最小正周期T，故B正确；当x时，2x，所以函数f(x)的图象不关于直线x对称，故C错误；函数f(x)的最大值为1，故D错误.故选AB.11. 已知函数
25、f(x)sin|x|sin x|，下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)在区间单调递增C.f(x)在，有4个零点D.f(x)的最大值为2【解析】f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故A正确；当x，故sinsin.14. 函数f(x)sin3cos x的最小值为_【解析】f(x)sin3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令tcos x，则t1,1，f(t)2t23t1.又函数f(t)图象的对称轴t1,1，且开口向下，当t1时，f(t)有最小值4.综上，f(x)的最小值为4.15. 设函数f(x)cos(0
26、)若f(x)f对任意的实数x都成立，则的最小值为_【解析】f(x)f对任意的实数x都成立，当x时，f(x)取得最大值，即fcos1，2k，kZ，8k，kZ.0，当k0时，取得最小值.16. 已知函数f(x)，则下列说法正确的是_(填序号)f(x)的周期是；f(x)的值域是y|yR，且y0；直线x是函数f(x)图象的一条对称轴；f(x)的单调递减区间是，kZ.【解析】函数f(x)的周期为2，错；f(x)的值域为0，)，错；当x时，x，kZ，x不是f(x)的对称轴，错；令kxk，kZ，可得2kx2k，kZ，f(x)的单调递减区间是，kZ，正确【解答题】17. 已知函数f(x)sin.(1)求f(x
27、)的单调递增区间；(2)当x时，求函数f(x)的最大值和最小值【解析】(1)令2k2x2k，kZ，则kxk，kZ.故f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)当x时，2x，所以1sin，所以f(x)1，所以当x时，函数f(x)的最大值为1，最小值为.18. 已知函数f(x)sin.讨论函数f(x)在区间上的单调性并求出其值域【解析】令2x，则x.令2x，则x.因为x，所以函数f(x)sin在区间上单调递增，在区间上单调递减当x时，f(x)取得最大值为1.因为f0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性【解析】(1)因为f(x)sin xcos x
28、sin，且T，所以2.于是，f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x(kZ)(2)令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递增区间为(kZ)注意到x，所以令k0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.21. 已知函数f(x)sin(2x)sincos2x.(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x时，求f(x)的最小值和最大值【解析】(1)由题意，得f(x)(sin x)(cos x)cos2xsin xcos xcos2xsin 2x(cos 2x1)sin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T
29、；令2xk(kZ)，得x(kZ)，故所求图象的对称轴方程为x(kZ)(2)当0x时，2x，由函数图象(图略)可知，sin1.即0sin.故f(x)的最小值为0，最大值为.22. 已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性【解析】(1)f(x)的定义域为.f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，函数y2sin z在z，kZ上单调递增由，kZ，得x，kZ.设A，B，易知AB.所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减
