1、 微专题 对三角不等式的理解与应用【学生版】知识梳理1、定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。2、推广（1）如果、是实数，那么（由定理通过代换可以推得）；（2）如果、是实数,那么，当且仅当时，等号成立；典题例析一、定理的多视角证明1、定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。【提示】【证明】方法1：【证明】方法2：（比较法+不等式性质）【证明】方法3：（分析法）；【证明】方法4：（利用绝对值的几何意义）；【证明】方法5：（从向量的模与复数的模视角理解）定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。不等式中，用向量分别替换实数、；则当不
2、共线时, 由向量加法三角形法则:向量，构成三角形, 因此，有（、同向时取等号）定理的几何意义：完善后的定理，从形式来看具有三角形的两边之和大于第三边关系，因此有时把定理称为绝对值三角不等式定理。二、定理的理解与应用例1、（1）设a、b为实数，求证：【提示】【证明】（2）设a、b为实数，求证：【证明【说明】本题考查了教材要求的由等式代换结合三角不等式证明不等式；例2、已知f(x)x22x7，且|xm|3，求证：|f(x)f(m)|6|m|15.【提示】；【证明】【说明】本题考查了利用绝对值三角不等式证明不等式；两类含绝对值不等式问题的证明技巧；一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉
3、绝对值转符号化为常见的不等式证明，或利用|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明；例3、设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：2.【提示】【证明】【说明】本题考查借助三角不等式证明含绝对值的不等式；1、将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m|a|，m|b|，m1”是证明本题的关键.2、运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度.例4、对任意xR，求使不等式|x1|x
4、2|m恒成立的m的取值范围.【提示】【说明】方法1：【说明】本题考查了运用绝对值不等式求最值与范围；1、本题也可利用绝对值的几何意义求解；2、对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值；例5、不等式|sin xtan x|a的解集为N；不等式|sin x|tan x|a的解集为M，则解集M与N的关系是( )ANM BMNCMN DMN例6、若不等式|2a1|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A1,2 B1,2C D例7、已知p，q，xR，且pq0，x0，则与2 的大小关系是_例8、设a，bR，且|ab1|1，|a2b4
5、|4，求|a|b|的最大值方法归纳从初中的绝对值、三角形到高中的向量，在这些看似无序无关的知识中，让学生直观感受实数绝对值三角不等式的若影若现，产生对新知识学习的渴望；在一个个问题的研究中，使学生的思维层次不断提升，由从特殊值和几何图形的直观想象延伸到精准的逻辑推理证明；从大量的实际问题中，让学生提炼出绝对值三角不等式的模型，并充分体会它的特征，并能充分的利用这些特征解决问题，突显它的价值和意义。绝对值不等式|ab|a|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形
6、使其符合绝对值不等式的条件1、知识层面定理（三角形不等式）：如果是实数，则，注意取等的条件。2、方法层面 综合法、分析法、放缩法、作差法等。3、思想层面分类讨论思想、对称思想、转化化归思想、数形结合思想等。4、素养层面 数学抽象、数学建模、逻辑推理等。绝对值三角不等式结构优美，构思巧妙，他的发现、证明、应用能够培养学生的探索、发现、推理能力，有着良好的培养学生能力的机会；巩固练习1、已知实数a，b满足ab|ab| B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab|a|b|2、“|xa|m且|ya|m”是“|xy|2m”(x，y，a，mR)的()A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D非充分
7、非必要条件3、设|a|1，|b|2 B|ab|ab|5的解集为R，则实数m的取值范围是 8、已知函数f(x)|x2|，g(x)|x3|m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，则m的取值范围是_9、若f(x)x2xc(为常数)，且|xa|1，求证：|f(x)f(a)|m时，求证：m，|x|a|，|x|b|，|x|1，从而|x|2|b|.因此2，即0时，p与q同号，则px与也同号，|px|2.综上知2.答案：2例8、设a，bR，且|ab1|1，|a2b4|4，求|a|b|的最大值【解析】|ab1|1，|a2b4|4，|ab|(ab1)1|ab1|1|112，|ab|3(ab1)2(a2
8、b4)5|3|ab1|2|a2b4|53124516.当ab0时，|a|b|ab|2；当ab0，|a|b|a|b|a(b)|ab|16.由知，|a|b|16.而当a8，b8时，满足|ab1|1，|a2b4|4，且|a|b|16，|a|b|的最大值为16.方法归纳从初中的绝对值、三角形到高中的向量，在这些看似无序无关的知识中，让学生直观感受实数绝对值三角不等式的若影若现，产生对新知识学习的渴望；在一个个问题的研究中，使学生的思维层次不断提升，由从特殊值和几何图形的直观想象延伸到精准的逻辑推理证明；从大量的实际问题中，让学生提炼出绝对值三角不等式的模型，并充分体会它的特征，并能充分的利用这些特征解
9、决问题，突显它的价值和意义。绝对值不等式|ab|a|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件1、知识层面定理（三角形不等式）：如果是实数，则，注意取等的条件。2、方法层面 综合法、分析法、放缩法、作差法等。3、思想层面分类讨论思想、对称思想、转化化归思想、数形结合思想等。4、素养层面 数学抽象、数学建模、逻辑推理等。绝对值三角不等式结构优美，构思巧妙，他的发现、证明、应用能够培养学生的探索、发现、推理能力，有着良好的培养学生能力的机会
10、；巩固练习1、已知实数a，b满足ab|ab| B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab|a|b|【答案】B；【解析】ab0，|ab|a|b|，又|ab|a|b|，|ab|a|b|ab|.答案：B2、“|xa|m且|ya|m”是“|xy|2m”(x，y，a，mR)的()A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D非充分非必要条件【答案】A；【解析】|xa|m，|ya|m，|xa|ya|2m. 又|(xa)(ya)|xa|ya|，|xy|2m.但反过来不一定成立，如取x3，y1，a2，m2.5，|31|22.5，但|3(2)|2.5，|1(2)|2.5，|xy|2m不一定有|xa|m且|y
11、a|m，故“|xa|m且|ya|m”是“|xy|2m”(x，y，a，mR)的充分非必要条件答案：A3、设|a|1，|b|2 B|ab|ab|2C|ab|ab|2 D不能比较大小【答案】B；【解析】当(ab)(ab)0时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|2，当(ab)(ab)0时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|5的解集为R，则实数m的取值范围是 【答案】 (，6)(4，)【解析】|x1|xm|(x1)(xm)|m1|且不等式|x1|xm|5恒成立，|m1|5，解得m4，即实数m的取值范围为(，6)(4，)；8、已知函数f(x)|x2|，g(x)|x3|m.若函数f(x)的图象恒
12、在函数g(x)图象的上方，则m的取值范围是_【答案】(，5) 【解析】函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x2|x3|m对任意实数x恒成立，即|x2|x3|m恒成立又对任意实数x恒有|x2|x3|(x2)(x3)|5，于是得m5，即m的取值范围是(，5)；9、若f(x)x2xc(为常数)，且|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1).【证明】|f(x)f(a)|(x2xc)(a2ac)|x2xa2a|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|(xa)(2a1)|xa|2a1|.又|xa|1，|f(x)f(a)|xa|2a1|xa|2a|112|a|12(|a|1).10、已知|a|b|，m，n，比较m，n之间的大小；【提示】根据题设，建立三角不等式的关联，然后利用中间量分别判定m，n与1的大小；【解析】因为|a|b|ab|，所以1，即m1.又因为|ab|a|b|，所以1，即n1.所以m1n.所以，mn；
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