1、【学生版】 三角不等式【专项测试】考生注意：1本试卷含三个大题，共21题答题时，考生务必按要求在规定的位置上作答；2解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤；一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1、不等式成立的充要条件是 2、实数a、b满足，则a、b之间的关系是 .3、函数的最小值为_.4、x为实数，且不等式有解，则实数m的取值范围是 5、 取等号的条件是 6、若不等式的解集为，则实数的取值范围是_.7、函数的取得最小值时的值为 8、对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|
2、的最大值为_9、已知函数f(x)|x2|，g(x)|x3|m.若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，则m的取值范围为_10、若实数a，b满足ab0，则四个不等式中正确的序号是 |ab|a|；|ab|b|；|ab|ab|11、假设存在实数满足，那么实数的取值范围为_.12、若不等式对任意使式子有意义的实数恒成立,则实数的取值范围是 二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13、非零实数，满足的充要条件是（ ）ABCD14、 取等号的条件是（ ）A. B. C. D. 15、若|a|1，|b|2
3、B|a+b|+|ab|2C|a+b|+|ab|=2D不确定16、对任意x，yR，|x1|+|x|+|y1|+|y+1|的最小值为（ ）A1B2C3D4三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分，解答下列各题必须写出必要的步骤）17. （本题满分14分）已知f(x)|x10|x20|(xR)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围18、（本题满分14分）（1）设a，bR，求证： .（2）已知|x1|，|y2|，|z3|，求证：|x2yz|；19、（本题满分14分）已知函数f(x)|2x1|x4|；（1）解不等式f(x)6；（2）若不等式f(x)|
4、x4|a28a有解，求实数a的取值范围20. （本题满分16分）已知函数恒成立（1）求的取值范围；（2）若的最大值为，当正数、满足时，求的最小值21. （本题满分18分）已知实数、，显然，定义两实数的误差为两数差的绝对值；（1）求证：；（2）若任取，与的误差，与的误差最大值均为，求：与误差的最大值，并求出此时、的值.【教师版】 三角不等式【专项测试】考生注意：1本试卷含三个大题，共21题答题时，考生务必按要求在规定的位置上作答；2解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤；一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸相应编号的
5、空格内直接填写结果1、不等式成立的充要条件是 【提示】注意：等价变形；【答案】a2+b20；【解析】因为，要保证分母不等于0，所以a、b不能同时为0，即a2+b20 ，所以，两边平方得2ab2|a|b|，不等式恒成立；2、实数a、b满足，则a、b之间的关系是 .【提示】注意：等价变形；【答案】ab0；【解析】因为，所以(a+b)2(a-b)2，即a2+2ab+b2a2-2ab+b2,所以4ab0,故ab2即可【说明】本题三角不等式与不等式性质、数轴的简单交汇；5、 取等号的条件是 【提示】利用三角不等式（当且仅当时取等号）即可求得答案；【答案】（2020全国（理）改编）【解析】因为，当且仅当，
6、即时取等号【说明】本题考查三角不等式，考查绝对值不等式取等号的条件，属于中档题.6、若不等式的解集为，则实数的取值范围是_.【提示】由题意得知对任意的恒成立，然后利用绝对值三角不等式求出的最大值为，得出，解出该不等式即可；【答案】【解析】由题意可知，不等式对任意的恒成立，由绝对值三角不等式可得，则，即，解得，因此，实数的取值范围是；故答案为；【说明】本题考查利用绝对值不等式的解集为空集求参数的取值范围，转化为绝对值不等式在实数集上恒成立是解题的关键，同时借助绝对值三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.7、函数的取得最小值时的值为 【提示】利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应
7、的值.【答案】；【解析】依题意，当且仅当，即时等号成立；【说明】本小题主要考查绝对值不等式，以及绝对值不等式等号成立的条件；8、对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_【答案】5；【解析】|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.9、已知函数f(x)|x2|，g(x)|x3|m.若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，则m的取值范围为_【提示】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，可转化为不等式|x2|x3|m恒成立，利用不等式的性质求出|x2|x3|的最小值，就可以求出的范围.【答案】(，5)
8、【解析】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，即为|x2|x3|m对任意实数x恒成立，即|x2|x3|m恒成立因为对任意实数x恒有|x2|x3|(x2)(x3)|5，所以m0，则四个不等式中正确的序号是 |ab|a|；|ab|b|；|ab|ab|【提示】注意结合数轴与绝对值的几何意义理解；【答案】 11、假设存在实数满足，那么实数的取值范围为_.【提示】结合绝对值三角不等式将，进而求解【答案】（-3，7）【解析】，即故答案为：【说明】本题考查绝对值三角不等式的应用，应该熟记：，属于基础题12、若不等式对任意使式子有意义的实数恒成立,则实数的取值范围是 【答案】【解析】，当且仅当时等号成
9、立的最大值为4下面解不等式，不等式为不等式，即，或，解得或或，的取值范围是故答案为：；【说明】本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式的性质首先不等式恒成立问题转化为求最值其次解绝对值不等式时，绝对值性质等价于或中可以不讨论的正负，直接用来解不等式，即不等式直接转化为或，不需要按分类，大家可以从集合的分析二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13、非零实数，满足的充要条件是（ ）ABCD【提示】利用绝对值不等式的性质，即可得到答案.【答案】D【解析】由绝对值不等式的性质，可得，当且仅当时，等号成立，所
10、以“”的充要条件为“”故选：D【说明】本题主要考查了绝对值不等式的性质、充要条件，属于基题是绝对值不等式中常用的性质14、 取等号的条件是（ ）A. B. C. D. 【提示】分析：利用绝对值不等式（当且仅当时取等号）即可求得答案.【答案】C【解析】，当且仅当，即时取等号.故选：C.【说明】本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式取等号的条件，属于中档题.15、若|a|1，|b|2B|a+b|+|ab|2C|a+b|+|ab|=2D不确定【提示】根据的符号相同或相反，利用绝对值的性质求解.【答案】B【解析】当(a+b)(a-b)0时，|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|2
11、；当(a+b)(a-b)0时，|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|2，综上有|a+b|+|a-b|2.故选：B16、对任意x，yR，|x1|+|x|+|y1|+|y+1|的最小值为（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)x0,(1-y)(1+y)0,即0x1,-1y1时等号成立,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分
12、，解答下列各题必须写出必要的步骤）17. （本题满分14分）已知f(x)|x10|x20|(xR)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围【解析】|x10|x20|x10|20x|(x10)(20x)|10.当且仅当(x10)(20x)0时取等号由(x10)(20x)0，得10x20，因此f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是10，2018、（本题满分14分）（1）设a，bR，求证： .【提示】利用绝对值不等式性质或构造函数证明【证明】法一：若ab0或ab0，不等式显然成立若ab0且ab0，|ab|a|b|，(*)又，.又由(*)式可知.综上可知.法二：若ab0
13、或ab0，不等式显然成立若ab0且ab0，|ab|a|b|，011.即0.取倒数得，又由法一知，原不等式成立法三：|a|b|ab|，|a|b|(|a|b|)|ab|ab|(|a|b|)|ab|，即(|a|b|)(1|ab|)|ab|(1|a|b|)两边同除以(1|ab|)(1|a|b|)得.又由法一知，原不等式成立法四：构造函数f(x)，任取x1，x20，)且x1x2，有f(x1)f(x2)0.f(x)在0，)上为增函数又|a|b|ab|，f(|a|b|)f(|ab|)，即.又由法一知，所证不等式成立（2）已知|x1|，|y2|，|z3|，求证：|x2yz|；【证明】 |x2yz|x12(y2
14、)z3|x1|2(y2)|z3|x1|2|y2|z3|.|x2yz|.19、（本题满分14分）已知函数f(x)|2x1|x4|；（1）解不等式f(x)6；（2）若不等式f(x)|x4|a28a有解，求实数a的取值范围【解析】（1）由已知得f(x)当x时，原不等式可化为3x36，即x1，1x4时，原不等式可化为3x36，即x3(舍去)综上，f(x)6的解集为1,1（2）f(x)|x4|2x1|2x8|9，f(x)|x4|9，即(a9)(a1)0，解得a9，实数a的取值范围是(，1)(9，)；【说明】本题考查了利用绝对值不等式的性质求最值；求含绝对值函数的最值时，常用的方法有三种：1、利用绝对值的
15、几何意义；2、利用绝对值的三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；3、利用零点分段法，转化为分段函数求最值；20. （本题满分16分）已知函数恒成立（1）求的取值范围；（2）若的最大值为，当正数、满足时，求的最小值【提示】（1）函数恒成立，即恒成立，设函数，则，利用绝对值不等式的性质求得即可得解；（2）由（1）可得，然后利用基本不等式计算即可求得的最小值；【答案】（1）；（2）【解析】（1）函数恒成立，即恒成立，设函数，则，又，即的最小值为4，所以；（2）由（1）知，正数a，b满足，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为【说明】本题考查绝对值不等式的应用，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.21. （本题满分18分）已知实数、，显然，定义两实数的误差为两数差的绝对值；（1）求证：；（2）若任取，与的误差，与的误差最大值均为，求：与误差的最大值，并求出此时、的值.【提示】（1）由，根据即可得证；（2）根据（1）的结论及两个实数误差的定义运算即可得解.【答案】（1）证明见解析；（2）2.01，此时，【解析】（1）.（2）因为，由（1），此时只需等号成立.
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