1、第三章数列综合能力测试本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1(2009杭州模拟卷)在等差数列an中，已知a1a2a3a4a520，那么a3()A4B5C6D7答案：A解析：解法一：因为an为等差数列，设首项为a1，公差为d，由已知有5a110d20，a12d4，即a34.解法二：在等差数列中，a1a5a2a42a3，所以由a1a2a3a4a520得5a320，a34.2(2010甘肃省会宁五中期中考试)等差数列a
2、n中，已知a5a710，Sn是数列an的前n项和，则S11()A45 B50 C55 D60答案：C解析：S1111111155，故选C.3已知等比数列an的公比q，则等于()A B3 C. D3答案：B解析：，3.4(2009广东，4)已知等比数列an满足an0，n1,2，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1()A(n1)2Bn2C(n1)2Dn21答案：B解析：a5a2n522na，an0，an2n，log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2213(2n1)log22n2n2.故选B.5一张报纸，其厚度为a，面
3、积为b，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7次，这时，报纸的厚度和面积分别为()A8a， B64a，C128a， D256a，答案：C解析：将报纸依次对折，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和，故对折7次后报纸的厚度为27a128a，报纸的面积为b，选C.6若数列an的通项公式为an，则前n项和为()ASn1 BSn2CSnn(1) DSn2答案：B解析：可用错位相减求或验证S1、S2.7等比数列an的前n项之和为Sn，公比为q，若S316且，则S6()A14 B18 C102 D144答案：A解析：由，S316，即16,1q3，q3，则S6S3S3q314.8(2009北京市西
4、城区)设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1、S2、S4成等比数列，则等于()A1 B2 C3 D4答案：C解析：设等差数列an首项为a1，公差为d0，因为S1、S2、S4成等比数列，所以a1(4a16d)(2a1d)2，解得2a1d，因此3，选择C.9在数列an中an0，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5()A是等差数列B是等比数列C三个数的倒数成等差数列D三个数的平方成等差数列答案：B解析：2a2a1a3aa2a4由/得a2a4，化简得aa1a5，故选B.10已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1 a2
5、009，且A、B、C三点共线(O为该直线外一点)，则S2009等于()A2009B.C22009D22009答案：B解析：a1 a2009，且A、B、C三点共线a1a20091.又an是等差数列，S20092009.故选B.11在ABC中，tanA是第3项为4，第7项为4的等差数列的公差，tanB是第3项为，第6项为9的等比数列的公比，则ABC是()A等腰三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形答案：B解析：由题意，得tanA2，tanB3，于是tanCtan(AB)1，故选B.12设数列an的前n项和为Sn，令Tn，称Tn为数列a1，a2，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a400
6、的“理想数”为2005，那么数列9，a1，a2，a400的“理想数”为()A2004 B2005 C2009 D2008答案：C解析：由T4002005，则S1S2S4002005400，9，a1，a2，a400的“理想数”92009.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)13等差数列an中，a4a58，a9a1028，则a1等于_答案：3解析：由a4a52a17d8，a9a102a117d28，解得a13.14(2009北京宣武)在等比数列an中，a1a3，a4a610，则a4_.答案：2解析：由题意可得解得所以a4232.15
7、数列an的前n项和记为Sn，已知an5Sn3(nN*)，则an_.答案：()n1解析：由an5Sn3得Sn当n2时Sn1，an，即又当n1时，a15a13，a1，则an()n1.16若表示一种运算，且有如下表示：112、mnk、(m1)nk1、m(n1)k2，则20072007_.答案：2008解析：由m(n1)mnk2k2，取m1，可得数列1n是以112为首项，以2为公差的等差数列，因此120072(20071)24014.又由(m1)nmnk1k1，取n2007，得数列m2007是以120074014为首项，以1为公差的等差数列，于是200720074014(20071)(1)2008.三
8、、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)17(2009山东曲阜测试)(本小题满分10分)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a410，S422.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设an的首项为a，公差为d，由a410，S422得解得a11，d3，an13(n1)3n2.(2)bn2an23n228n1，则数列bn是以2为首项，8为公比的等比数列，它的前n项和Tn(8n1)18(本小题满分12分)甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动甲第1分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1
9、)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m，乙继续每分钟走5m.那么开始运动几分钟后第二次相遇？解析：(1)设nmin后第1次相遇，依题意，有2n5n70，整理得n213n1400，解得n7或n20(舍去)故第1次相遇是在开始运动后7min.(2)设nmin后第2次相遇，依题意，有2n5n370，整理得n213n6700，解得n15，n28(舍去)故第2次相遇是在开始运动后15min.19(2009辽宁，17)(本小题满分12分)等比数列an的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn
10、.解析：(1)依题意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)，由于a10，故2q2q0.又q0，从而q.(2)由已知可得a1a1()23，故a14.从而Sn1()n20(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，Sn(an1)(nN*)(1)求a1，a2；(2)求证：数列an是等比数列解析：(1)由Sn(an1)，得a1(a11)，所以a1.又S2(a21)，即a1a2(a21)，得a2.(2)证明：当n1时，anSnSn1(an1)(an11)，得，故an是首项为，公比为的等比数列(nN*)21(本小题满分12分)已知数列an满足a11，an1，记bna2n，nN*.(1)求a2，
11、a3；(2)求数列bn的通项公式；(3)求证S2n1a1a2a2na2n1.解析：(1)a2，a3.(2)当n2时，bna2na(2n1)1a2n1(2n1)a2n22(2n2)(2n1)a2(n1)1bn11bn2(bn12)，又b12a22，bn2()n1()n，即bn2()n.(3)a2n1a2n4nbn4nS2n1a1a2a2na2n1(a2a4a2n)(a1a3a5a2n1)(b1b2bn)a1(b141)(b242)(bn4n)a12(b1b2bn)4(12n)12(2n)4()n12n22n1.22(2010黄冈市高三12月份质检)(本小题满分14分)已知函数f(x)的定义域为0
12、,1，且同时满足：对任意x0,1，总有f(x)2；f(1)3；若x10，x20，且x1x21，则有f(x1x2)f(x1)f(x2)2.(1)求f(0)的值；(2)试求f(x)的最大值；(3)设数列an的前n项为Sn，满足a11，Sn(an3)，nN*.求证：f(a1)f(a2)f(an)2n.解析：(1)令x1x20，则f(0)2f(0)2，f(0)2.(2)任取x1，x20,1且x1x2，则0x2x11，f(x2x1)2.f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)2f(x1)，f(x)在0,1上为增函数，f(x)的最大值为f(1)3.(3)Sn(an3)(nN*)，Sn1(an13)(n2)，ananan1(n2)，anan1(n2)，又a110，(n2)，数列an是以1为首项，公比为的等比数列，an.f(an1)f()f()3f()4，f()f()，f()2f()2，f()2是以f()2为首项，公比为的等比数列f()2(f()2)()n1，f(1)f()3f()4，f()，f()2()n，即f()()n2.f(a1)f(a2)f(an)f(1)f()f()f()2222(1)2n2n.