1、23.2双曲线的几何性质1.掌握双曲线的几何性质2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念3.能区别椭圆与双曲线的性质双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距F1F22c范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a，0)，(a，0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e(e1)渐近线001判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)等轴双曲线的离心率是.()(2)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同()(3)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点()
2、(4)方程1(a0，b0)的渐近线方程为yx.()答案：(1)(2)(3)(4)2双曲线1的渐近线方程为()A3x4y0B4x3y0C9x16y0 D16x9y0答案：A3双曲线2x2y28的实轴长是_答案：44已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为_答案：1双曲线的几何性质求以椭圆1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长和虚轴长、离心率、渐近线方程【解】椭圆的焦点为F1(，0)，F2(，0)，即为双曲线的顶点，所以a，又因为双曲线的顶点与焦点在同一条直线上，所以双曲线的焦点应为椭圆的长轴端点A1(4，0)，A2(4，0)，即有c
3、4，所以b3.故双曲线的方程为1.其实轴长为2a2，虚轴长为2b6，离心率e.渐近线方程为yx.由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤 1.求双曲线16x29y2144的焦点坐标、焦距及离心率e.解：方程16x29y2144可化为1，则a4，b3，所以c5，又由方程知焦点在y轴上，所以焦点为(0，5)与(0，5)，焦距为10，离心率e.由双曲线的性质求标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)求离心率e，且过点M(5，3)的双曲线的标准方程；(2)已知渐近线方程为yx，焦距为10，求双曲线的方程【解】(1)由离心率e知，所求的双曲线是等轴双曲线，故可设方程为x2y2k(k0)把M(5，3)
4、代入上述方程，得k16.因此所求的双曲线的标准方程是1.(2)设双曲线方程为y2(0)，则当0时，(41)52，解得5.当0，b0)的右支上，双曲线两焦点F1、F2，若PF14PF2，求双曲线离心率的取值范围【解】法一：由双曲线的定义得：PF1PF22a，与已知PF14PF2联立解得：PF1a，PF2a，由PF1PF2F1F2得aa2c，解得：1e.法二：由法一可知PF1a，PF2a，点P在双曲线右支上，由图可知：PF1ca，PF2ca，即aca，aca, 两式相加得：ac，解得：10，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是_解析
5、：(1)因为c2mm24，所以e25，所以m24m40，所以m2.(2)因为双曲线渐近线的斜率为k，直线的斜率为ktan 60，故有，所以e 2，所以所求离心率的取值范围是e2.答案：(1)2(2)e21对双曲线渐近线的两点说明(1)随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点(2)根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线标准方程1(a0，b0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程0.2离心率对双曲线开口大小的影响以双曲线1(a0，b0)为例e，故当的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大
6、小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围【解】(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知得a，c2，再由a2b222，得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)将ykx代入y21得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线交于不同的两点得即k2且k21.(*)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB，xAxB.由2得xAxByAyB2，而xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAx
7、B)2(k21)k2.于是2，即0，解此不等式得k23.(*)由(*)(*)得k21.故k的取值范围为. (1)解答本题由直线方程和双曲线方程求出关于x的方程是易错点利用向量的坐标运算把表示为关于k的代数式，是本题难点解答本题易错点为易忽视13k20且0这个条件，只利用2求解，就会使k的取值范围扩大(2)解决双曲线的综合问题，常涉及等价转化及方程的思想，以及整体的思想和设而不求的思想，“设而不求”是解决问题的常见方法，如本例中设出A，B两点坐标，但并不需要求出这两点的坐标1已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1 D
8、.1解析：选B.由题意，得解得a2，b2.易知双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为1.2已知双曲线1的离心率e(1，2)，则m的取值范围是()A(12，0) B(，0)C(3，0) D(60，12)解析：选A.因为双曲线1的实半轴长a2，虚半轴长为，c为半焦距，所以离心率e，又因为e(1，2)，所以12，解得12m0，b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e_；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值_解析：(1)由题意可得abc
9、，所以a43a2c2c40，所以e43e210，所以e2，所以e.(2)设sin ，cos ，e2.答案：(1)(2)9过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率解：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2.10设双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过(a，0)、(0，b)两点，且点(1，0)到
10、直线l的距离与点(1，0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围解：直线l过(a，0)、(0，b)两点，得到直线方程为bxayab0.由点到直线的距离公式，且a1，得点(1，0)到直线l的距离为d1，同理得到点(1，0)到直线l的距离为d2，由sc得到c.将b2c2a2代入式的平方，整理得4c425a2c225a40，两边同除以a4后令x，得到4x225x250，解得x5，又e，故e.B能力提升1已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选C.由题意知，即，所以，所以.所以C的渐近线方程为yx.2已知M(x0，y0)是双曲线
11、C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点若0，则y0的取值范围是_解析：由题意知a22，b21，所以c23，不妨设F1(，0)，F2(，0)，所以(x0，y0)，(x0，y0)，所以x3y3y10，所以y0.答案：3已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点M(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点N(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)在(2)的条件下，求F1NF2的面积解：(1)因为e，故可设等轴双曲线的方程为x2y2(0)，因为过点M(4，)，所以1610，所以6.所以双曲线方程为1.(2)证明：由(1)可知：在双曲线中，ab，所以c2.所以不妨设F1(2，0)
12、，F2(2，0)所以(23，m)，(23，m)所以(23)(23)m23m2.因为点N(3，m)在双曲线上，所以9m26，所以m23.所以0.(3)因为F1NF2的底F1F24，高h|m|，所以F1NF2的面积S6.4(选做题)已知双曲线C1x21.(1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；(2)直线l：yxm分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点当3时，求实数m的值解：(1)双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(，0)，设双曲线C2的标准方程为1(a0，b0)，则解得所以双曲线C2的标准方程为y21.(2)双曲线C1的渐近线方程为y2x，y2x，设A(x1，2x1)，B(x2，2x2)由消去y化简得3x22mxm20，由(2m)243(m2)16m20，得m0.因为x1x2，x1x2(2x1)(2x2)3x1x2，所以m23，即m.