1、21圆锥曲线1椭圆平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2双曲线平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距3抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线4圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)设F1，F2为定点，F1F26，动点M满足MF1M
2、F26，则动点M的轨迹是椭圆()(2)已知定点M(1，1)，定直线l：x3，有一动点N，点N到M点的距离MN始终等于N点到直线l的距离，则N点的轨迹是一条抛物线()(3)已知A(3，0)，B(3，0)，且MAMB0，则M点的轨迹是双曲线()答案：(1)(2)(3)2设定点F1(7，0)，F2(7，0)，动点P(x，y)满足条件|PF1PF2|14，则动点P的轨迹是_答案：两条射线3平面内有两个定点F1，F2及动点P，设甲是“|PF1PF2|是非零常数”，乙是“动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线”，那么，甲是乙的_条件答案：必要不充分4若A是定直线l外的一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心
3、轨迹是_答案：抛物线椭圆的定义已知ABC中，B(3，0)，C(3，0)，且AB，BC，AC成等差数列(1)求证：点A在一个椭圆上运动；(2)写出这个椭圆的焦点坐标【解】(1)证明：在ABC中，由AB，BC，AC成等差数列ABAC2BC12BC满足椭圆定义，所以点A在以B，C为焦点的椭圆上运动(2)焦点坐标为(3，0)，(3，0)在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，往往忽视条件“常数大于两定点间的距离”而导致错误：看到动点到两个定点的距离之和为常数，就认为是椭圆，不管常数与两个定点之间的距离的大小因此，我们在做此类题目时，要养成一种良好的思维习惯：看到动点到两定点的距离之和是常数后，马上判断此常数与
4、两定点之间的距离的 大小关系若常数大于两定点间的距离，则是椭圆；若常数等于两定点之间的距离，则是以两定点为端点的线段；若常数小于两定点之间的距离，则不表示任何图形1.平面内有定点A、B及动点P，甲：PAPB是定值，乙：点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，那么甲是乙的_条件解析：由椭圆定义知，甲 乙且乙甲答案：必要不充分双曲线、抛物线的定义曲线上的点到两个定点F1(5，0)，F2(5，0)的距离之差的绝对值分别等于(1)6，(2)10，(3)12.若满足条件的曲线存在，则是什么样的曲线；若不存在，请说明理由【解】(1)由于F1F2106，所以满足该条件的曲线是双曲线(2)由于F1F210，所以满足
5、该条件的不是曲线，而是两条射线(3)由于F1F21012，所以满足条件的点的轨迹不存在在根据双曲线定义判断动点的轨迹时，易出现以下两种错误：(1)忽视定义中的条件“常数小于两定点之间的距离且大于0”； (2)忽视条件“差的绝对值”因此当看到动点到两定点的距离之差是常数时，就草草下结论误认为动点的轨迹是双曲线因此，我们要养成一种良好的思维习惯：看到动点到两定点的距离之差的绝对值是常数时，要先判断常数与两定点之间的距离的大小关系若常数小于两定点间的距离，则是双曲线；若常数等于两定点间的距离，则是以两定点为端点的两条射线；若常数大于两定点间的距离，则不表示任何图形(即无轨迹)2.已知直线l：x2y3
6、0，点F(2，1)，P为平面上一动点，过P作PEl于E，PEPF，则点P的轨迹为_解析：因为点F(2，1)不在直线l上，且PEPF，所以点P的轨迹为抛物线答案：抛物线利用圆锥曲线的定义求轨迹一炮弹在某处爆炸，在F1(5 000，0)处听到爆炸声的时间比在F2(5 000，0)处晚 s，已知坐标轴的单位长度为 1 m，声速为340 m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？【解】由声速为340 m/s可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为3406 000(m)，且小于F1F210 000，因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上，因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上求解轨迹问题
7、时，应首先联想三种圆锥曲线定义，若条件满足定义要求则套用相应圆锥曲线方程即可解决问题 3.如图所示，已知动圆P过定点A(3，0)，并且在定圆B：(x3)2y264的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程解：设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆半径，即PAPBPMPBBM8AB，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左，右焦点的椭圆，其中c3，a4，b2a2c242327，其轨迹方程为1.椭圆、双曲线、抛物线都是圆锥曲线，学习中要重视对它们的共同特征的研究和探索：一是形式上的统一(包括方程形式(二次)、定义形式(圆锥截线)、统一定义、性质(焦点、
8、准线、对称性、离心率等)，还有光学性质(见“阅读”)及其应用、行星运动的轨迹等)；二是研究方法的统一：研究的内容、工具、思想等在ABC中，已知AB4，且2sin Asin C2sin B，求顶点C的轨迹【解】如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(2，0)，B(2，0)，由正弦定理得sin A，sin B，sin C(a，b，c分别为A，B，C所对的边)，因为2sin Asin C2sin B，所以2ac2b，即ba，从而有CACBAB20)，试求动点P的轨迹解：当a6时，PF1PF2aF1F2，所以点P的轨迹为线段F1F2.当a6时，PF1PF2aF1F
9、2，所以点P的轨迹为椭圆当0a6时，PF1PF2a6BC，所以动点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去A、B、C三点共线的两个点)B能力提升1方程5|3x4y6|表示的曲线为_解析：方程5|3x4y6|，即为，即动点(x，y)到定点(2，2)的距离等于动点(x，y)到定直线3x4y60的距离，由抛物线的定义知表示的曲线为抛物线答案：抛物线2已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程解：由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外
10、切并且与圆N内切，所以PMPN(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点的椭圆(点x2除外)，其方程为1(x2)3(选做题)已知定直线l及定点A(A不在l上)，n为过点A且垂直于l的直线，设N为l上任意一点，线段AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证：点P的轨迹为抛物线 证明：如图所示，建立平面直角坐标系，并且连结PA，PN，NB.由题意知PB垂直平分AN，且点B关于AN的对称点为P，所以AN也垂直平分PB.所以四边形PABN为菱形，所以PAPN.因为ABl，所以PNl.故点P符合抛物线上点的条件：到定点A的距离和到定直线l的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线