1、专题检测（十二） 立体几何中的向量方法大题专攻强化练1(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值解：(1)证明：由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB.以D为坐标原点， 的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0，1，0
2、)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，E(1，0，1)， (1，0，0)， (1，1，1)， (0，0，2)设平面EBC的法向量为n(x1，y1，z1)，则即所以可取n(0，1，1)设平面ECC1的法向量为m(x2，y2，z2)，则即所以可取m(1，1，0)于是cosn，m.所以，二面角BECC1的正弦值为.2.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)，侧棱AA1底面ABCD.(1)证明：CD平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成的角的正弦值为，求k的值解：(1)证明：如图，过点B作BEAD，交DC于点E，
3、则四边形ABED是平行四边形，BEAD4k，DEAB3k.在BEC中，因为BC225k29k216k2EC2BE2，所以BEDC，ADDC.又侧棱AA1底面ABCD，所以AA1DC.而AA1ADA，所以CD平面ADD1A1.(2)如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.则B1(4k，3k，1)，C(0，6k，0)，A(4k，0，0)，A1(4k，0，1)，所以(4k，6k，0)， (0，3k，1)， (0，0，1)设平面AB1C的法向量为m(x，y，z)，则即令y2，解得x3，z6k，所以m(3，2，6k)为平面AB1C的一个法向量
4、设平面AB1C与直线AA1所成的角为，则sin |cos，m|，解得k1.3.已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，BCAD，ABAD，且ABBC1，AD2，顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上，PAPD.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)若直线AC与PD所成角为60，求二面角APCD的余弦值解：(1)证明：PH平面ABCD，AB平面ABCD，PHAB.ABAD，ADPHH，AD平面PAD，PH平面PAD，AB平面PAD.又AB平面PAB，平面PAB平面PAD.(2)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，PH平面ABCD，z轴PH.则A(0，0，0)，C(1，1，
5、0)，D(0，2，0)，设AHa，PHh(0a2，h0)则P(0，a，h)(0，a，h)， (0，a2，h)，(1，1，0)PAPD，a(a2)h20.AC与PD所成角为60，|cos，|，(a2)2h2，(a2)(a1)0，0a2，a1.h0，h1，P(0，1，1)(0，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)， (1，1，0)，设平面APC的法向量为n(x1，y1，z1)，则即令x11，得y11，z11，平面APC的一个法向量为n(1，1，1)，设平面DPC的法向量为m(x2，y2，z2)则即令x21，得y21，z21，平面DPC的一个法向量为m(1，1，1)cosm，n.二面角APCD的
6、平面角为钝角，二面角APCD的余弦值为.4.(2019安徽五校联盟第二次质检)如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EFAB，BCFD，过BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q.(1)证明：PQ平面ABCD；(2)若CDBE，EFEC，CD2EF，BCtEF，求平面ADF与平面BCE所成锐二面角的大小解：(1)证明：因为底面ABCD为矩形，所以ADBC， BC平面ADF， BCPQ， PQ平面ABCD.(2)由CDBE，CDCB，BECBB，得CD平面BCE，所以CDCE.由BCCD，BCFD，CDFDD，得BC平面CDFE，所以CBCE.以C为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，的方
7、向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设EFEC1，则A(2，t，0)，D(2，0，0)，F(1，0，1)，所以(0，t，0)，(1，t，1)设平面ADF的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得n(1，0，1)为平面ADF的一个法向量易知平面BCE的一个法向量为m(1，0，0)，设平面ADF与平面BCE所成的锐二面角为，则cos ，所以，即平面ADF与平面BCE所成的锐二面角为.5(2019东北四市联合体模拟(一)如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E为CD的中点，将ADE沿AE折到APE的位置(1)证明：AEPB；(2)当四棱锥
8、PABCE的体积最大时，求二面角APEC的余弦值解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，ABCE，ABCE，四边形ABCE为平行四边形，AEBCADDE，ADE为等边三角形，在等腰梯形ABCD中，CADE，BDBC，BDAE.如图，翻折后可得OPAE，OBAE，又OP平面POB，OB平面POB，OPOBO，AE平面POB，PB平面POB，AEPB.(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，平面PAE平面ABCE.又平面PAE平面ABCEAE，PO平面PAE，POAE，OP平面ABCE.以O为坐标原点，OE所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立空间直
9、角坐标系，由题意得，P，E，C，PE，设平面PCE的法向量为n1(x，y，z)，则即设x，则y1，z1，n1(，1，1)为平面PCE的一个法向量，易知平面PAE的一个法向量为n2(0，1，0)，cos n1，n2.由图知所求二面角APEC为钝角，二面角APEC的余弦值为.6.(2019广州市综合检测(一)如图，在三棱锥ABCD中，ABC是等边三角形，BADBCD90，点P是AC的中点，连接BP，DP.(1)证明：平面ACD平面BDP；(2)若BD，且二面角ABDC为120，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值解：(1)证明：因为ABC是等边三角形，BADBCD90，所以RtABDRtCBD，可
10、得ADCD.因为点P是AC的中点，则PDAC，PBAC，因为PDPBP，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AC平面PBD.因为AC平面ACD，所以平面ACD平面BDP.(2)法一：如图，作CEBD，垂足为E，连接AE.因为RtABDRtCBD，所以AEBD，AECE，AEC为二面角ABDC的平面角由已知二面角ABDC为120，知AEC120.在等腰三角形AEC中，由余弦定理可得ACAE，因为ABC是等边三角形，则ACAB，所以ABAE.在RtABD中，有AEBDABAD，得BDAD，因为BD，所以AD.又BD2AB2AD2，所以AB2.则AE，ED.由CEBD，AEBD可知BD平面AEC，则
11、平面AEC平面BCD.过点A作AOCE，交CE的延长线于O，则AO平面BCD.连接OD，则ADO为直线AD与平面BCD所成的角在RtAEO中，AEO60，所以AOAE1，sinADO.所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为.法二：如图，作CEBD，垂足为E，连接AE.因为RtABDRtCBD，所以AEBD，AECE，AEC为二面角ABDC的平面角由已知二面角ABDC为120，知AEC120在等腰三角形AEC中，由余弦定理可得ACAE，因为ABC是等边三角形，则ACAB，所以ABAE.在RtABD中，有AEBDABAD，得BDAD，因为BD，所以AD.又BD2AB2AD2，所以AB2.则AE，
12、ED.以E为坐标原点，以向量， 的方向分别为x轴，y轴的正方向，以过点E垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Exyz，则D，A，向量，平面BCD的一个法向量为m(0，0，1)，设直线AD与平面BCD所成的角为，则cosm，sin |cosm，|.所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为.7.(2019长沙市统一模拟考试)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF，BCF90，AD，BE3，CF4，EF2.(1)求证：AE平面DCF；(2)当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60？解：因为平面ABCD平面BEFC，平面ABCD平面BEFCBC，DC平面ABCD，
13、且DCBC，所以DC平面BEFC.以点C为坐标原点，分别以CB，CF，CD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设ABa，则C(0，0，0)，A(，0，a)，B(，0，0)，E(，3，0)，F(0，4，0)，D(0，0，a)(1)证明：因为(0，3，a)，(，0，0)， (0，4，0)，(0，0，a)，所以0，0，又CDCFC，所以CB平面CDF，即为平面CDF的法向量又0，所以CBAE.又因AE平面CDF，所以AE平面DCF.(2)设n(x，y，z)与平面AEF垂直，因为(0，3，a)， (，1，0)，由得即得n.又因为BA平面BEFC， (0，0，a)，所以|c
14、osn|，解得a.所以当AB时，二面角AEFC的大小为60.8在平行四边形PABC中，PA4，PC2，P45，D是PA的中点(如图1)将PCD沿CD折起到图2中P1CD的位置，得到四棱锥P1ABCD.(1)将PCD沿CD折起的过程中，CD平面P1DA是否成立？请证明你的结论(2)若P1D与平面ABCD所成的角为60，且P1DA为锐角三角形，求平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值解：(1)将PCD沿CD折起过程中，CD平面P1DA成立证明如下：D是PA的中点，PA4，DPDA2，在PDC中，由余弦定理得，CD2PC2PD22PCPDcos 45842224，CD2PD，CD2DP28PC2，
15、PDC为等腰直角三角形且CDPA，CDDA，CDP1D，P1DADD，CD平面P1DA.(2)由(1)知CD平面P1DA，CD平面ABCD，平面P1DA平面ABCD，P1DA为锐角三角形，P1在平面ABCD内的射影必在棱AD上，记为O，连接P1O，P1O平面ABCD，则P1DA是P1D与平面ABCD所成的角，P1DA60，DP1DA2，P1DA为等边三角形，O为AD的中点，故以O为坐标原点，过点O且与CD平行的直线为x轴，DA所在直线为y轴，OP1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设x轴与BC交于点M，DAP1A2，OP1，易知ODOACM1，BM3，则P1(0，0，)，D(0，1，0)，C(2，1，0)，B(2，3，0)，(2，0，0)， (0，4，0)， (2，1，)，CD平面P1DA，可取平面P1DA的一个法向量n1(1，0，0)，设平面P1BC的法向量n2(x2，y2，z2)，则即令z21，则n2为平面P1BC的一个法向量，设平面P1AD和平面P1BC所成的角为，由图易知为锐角，cos |cosn1，n2|.平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值为.
