1、高考资源网（） 您身边的高考专家43.空间向量及其运算一、自主梳理1空间向量的概念名称定义空间向量在空间中，具有 和 的量叫做空间向量，其大小叫做向量的 或单位向量长度或模为 的向量零向量来源:学*科*网Z*X*X*K 的向量来源:学科网相等向量方向 且模 的向量相反向量 相反且 相等的向量共线向量来源:学科网如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，则称这些向量叫做共线向量或a平行于b记作 共面向量能平移于同一 的向量叫做共面向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得 .(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向
2、量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得 .(3)空间向量基本定理：如果三个向量e，e，e不共面， 那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组x，y，z，使得 .其中，e，e，e叫做空间 的一个 3线性运算的运算律(1)加法交换律：ab ；来源:学科网(2)加法结合律：(ab)c ；(3)数乘向量分配律：(ab) ；(4)向量对实数加法的分配律：a() .(5)数乘向量的结合律：(a) 4空间向量的数量积及运算律：（1）夹角及夹角范围（2）数量积（3）运算律5空间向量的坐标运算（1）共线 （2）垂直（3）数量积 （4）模、夹角及距离公式二、例题：1.在平行六面体ABCDA
3、1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1) ；(2) ；(3) .2已知向量a(0，1,1)，b(4,1,0)，|ab|，0，求的值3.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA边的中点，求证（1）E、F、G、H四点共面（2）求证BD面EFGH（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O,有来源:学科网ZXXK三、点击高考 1、设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足0，0，0，则BCD的形状是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D无法确定2、(2010广东高考改编)若向量a(1,
4、1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)满足条件(ca)(2b)2，求x的值.总结：1用已知向量表示未知向量的方法(1)用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘2.点共面问题点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明xy，或对空间任一点O，有xy或xyz (xyz1)即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件- 3 - 版权所有高考资源网
