1、高一年级第二学期期中联合调研考试数学试题一、选择题：（在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上）1.已知是等差数列，且，则（ ）A. -9B. -8C. -7D. -4【答案】B【解析】【分析】由，得，进而求出.【详解】解：是等差数列，且，故选B.【点睛】本题考查数列的通项公式.熟练应用数列的通项公式是解题的关键.2.若实数，满足，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据不等式的性质，同向不等式相加，不等号的方向不变，故选A.考点：不等式的性质3.已知等差数列前项和为，若，则（ ）A. 110B. 150C. 210
2、D. 280【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，也成等差数列，由此求得的值.【详解】解：等差数列前项和为，也成等差数列故 ，又故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义和性质，等差数列前n项和公式的应用.4.在中，角，所对的边分别是，则（ ）A. 或B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将已知代入正弦定理可得，根据，由三角形中大边对大角可得：，即可求得.【详解】解：，由正弦定理得：故选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.5.不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】由不等式可得或者，由此解得x的范围.【详
3、解】解：由不等式可得或者不等式得解集为故选A.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想.6.在等比数列中，是方程的两个根，则的值为（ ）A. 或B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用方程的根与等差数列的性质，求解即可.【详解】解：等比数列中，是方程的两个根故选D.【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，考查计算能力.7.在中，若，则为（ ）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 有一个内角为的直角三角形D. 有一个内角为的等腰三角形【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理及条件等式，求得B与C的度数，进而即可判断出三角形的形状。【详解】因为，而由正弦定理可知所以
4、，即在三角形ABC中，可得B=45同理，由正弦定理可知所以，即在三角形ABC中，可得C=45所以三角形ABC为等腰直角三角形所以选B【点睛】本题考查了正弦定理在判断三角形形状中的应用，属于基础题。8.已知两个等差教列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式可得，于是将表示为n的关系式，分离常数后再进行讨论，最后可得所求【详解】由等差数列的前n项和公式可得，所以当时，为整数，即为整数，因此使得 为整数的正整数n共有5个故选D【点睛】本题考查等差数列的和与项的关系和推理论证能力，解题时要结合求和公式
5、进行变形，然后再根据变形后的式子进行分析，本题具有一定的综合性和难度，能较好地考查学生的综合素质9.在中，角，的对边分别为，若，则的外接圆面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设的外接圆半径为，由，利用余弦定理化简已知可得，利用正弦定理可求，解得，从而可得结果【详解】设的外接圆半径为，由余弦定理可得：，解得：，的外接圆面积为，故选C【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；
6、（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.10.已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解集为，可求得；将a、b的值代入中，求得，即可得出，再利用一元二次不等式的解法进行解答.【详解】解：由的解集是，则故有，即.由解得或故不等式的解集是故选A.【点睛】本题考查了不等式和方程的关系以及一元二次不等式的解法，还应掌握一元二次方程根与系数的关系.11.已知在数列中，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在数列中，且，对n的奇偶性进行讨论，然后再分组求和得出的值.【详解】解：由递推公
7、式，可得：当n为奇数时，数列的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列；当n为偶数时，数列的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列，故选C.【点睛】本题考查了等差数列前n项和公式、分类讨论思想.12.“大衍数列”来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第20项为（ ）A. 180B. 200C. 128D. 162【答案】B【解析】根据前10项可得规律：每两个数
8、增加相同的数，且增加的数构成首项为2，公差为2的等差数列。可得从第11项到20项为60，72,84,98,112,128,144,162,180,200.所以此数列第20项为200.故选B。【点睛】从前10个数观察增长的规律。二、填空题。13.在等比数列中，公比，则_.【答案】【解析】【分析】等比数列的通项公式为，将题目已知条件代入中，即可求出项数n.【详解】解：等比数列的通项公式为，得，即【点睛】本题考查了等比数列的通项公式.解答此类题的关键是熟记数列的通项公式.14.在中，角，的对边分别为，若，则的周长为_.【答案】【解析】【分析】先根据求出，再由求出，最后再由余弦定理可求出，进而可求出的
9、值，即可求出周长.【详解】由，得，由三角形面积公式可得，则，结合余弦定理，可得，则，由联立可得，所以的周长为.故答案为【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和面积公式即可，属于基础题型.15.在等差数列中，且，则满足的的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由题意可得，根据等差数列的性质判断 ，的符号，即可得出结论.【详解】解： 在等差数列中，则，故时，n的最大值为19.【点睛】本题考查了等差数列的性质.根据等差数列的性质判断 ，的符号是解答本题的关键.16.已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据，为任意整数可得已知不等式等价于恒成立，利用基本不等
10、式易得；接下来求解不等式即可得出k的取值范围，从而得出k的最小值，注意所得k的值还要满足.【详解】解：，恒成立等价于恒成立.解得（舍去）或的最小值为【点睛】本题考查了基本不等式的应用，体现了转化的数学思想.三、解答题。17.在中，角，的对边分别为，已知.（）求角大小；（）若，求及的面积.【答案】（1）C=；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将变换为角得cosC=，从而得解；（2）由余弦定理可得a的值，进而利用面积公式即可得解.【详解】（1）2bcosC=acosC+ccosA，由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC，可得：2sinBcosC=sin（A+
11、C）=sinB，sinB0，cosC=，C（0，），C=（2）b=2，c=，C=，由余弦定理可得：7=a2+42a，整理可得：a22a3=0，解得：a=3或1（舍去），ABC的面积S=absinC=【点睛】本题主要考查了正余弦定理应用及面积公式，属于基础题.18.已知等比数列是递增数列，且，.（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据是递增等比数列，列方程即可求出，问题得解。（2）利用错位相减法即可求解前n项和【详解】解：由是递增等比数列，；解得：，；数列的通项公式：；由，；那么，则，将得：；即：【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式以及计算能力
12、，考查方程思想及错位相减法求和，属于基础题。19.已知数列满足.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.【答案】（）（）【解析】【分析】（1）利用递推关系即可得出.（2）将代入得出，利用”裂项相消法”与前n项和公式即可得出.【详解】解：（）当时，；当，可得，又当时也成立，（），【点睛】本题考查了”裂项相消法”与等比数列递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力.20.四边形如图所示，已知，.（）求的值；（）记与的面积分别是与，时，求的最大值.【答案】（1）;（2）14.【解析】试题分析: (1)在中,分别用余弦定理,列出等式,得出 的值; (2)分别求出 的表达式,利用(1)的结果,得到是
13、关于的二次函数,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出 的范围,由 的范围求出的范围,再求出的最大值.试题解析:（1）在中，在中，所以.（2）依题意，所以，因为，所以.解得，所以，当时取等号，即的最大值为14.21.为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第年需要付出的超市维护和工人工资等费用为万元，已知为等差数列，相关信息如图所示.（）求；（）该超市第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（）该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是
14、多少？（年平均获利）【答案】（）（）第年（）经过年经营后年平均盈利最大，最大值为万元【解析】【分析】（）由题意知，每年需付出的费用是以为首项，为公差的等差数列.（）把y表示成n的二次函数，令解x即可得出答案.（）年平均盈利为,利用基本不等式求出该超市经营6年，其年平均获利最大.【详解】解：（）由题意知，每年需付出的费用是以为首项，为公差的等差数列，求得（）设超市第年后开始盈利，盈利为万元，则由，得，解得，故即第年开始盈利（）年平均盈利当且仅当，即时，年平均盈利最大故经过年经营后年平均盈利最大，最大值为万元【点睛】本题考查数列在实际生活中利用，考查了等差数列的通项公式、基本不等式，确定函数关系是
15、解题的关键.22.已知数列的首项，其前项和为，对于任意正整数，都有.（）求数列的通项公式；（）设数列满足，且.求证数列为常数列.求数列的前项和.【答案】（）（）见证明；【解析】【分析】（）在中取，求得.然后求出当时的通项公式.（）将数列的通项公式代入， 用构造法得出，即得证.由可知，则等差数列前项和.当时,得；当时,得；当时，；从而可求得数列的前项和.【详解】解：（）令，则由，得因为，所以，当时，且当时，此式也成立所以数列的通项公式为（）因为，所以（），又因为，由（）式可得，且将（）式整理两边各加上得可知恒成立所以数列为常数列由可知，前项和，可知，前两项为正数，从第三项开始为负数，时，；时，；时，经检验，时也适合上式所以，【点睛】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求法.掌握”构造法”是解决本题的关键.