1、专题检测（二十一） 导数的简单应用A组“633”考点落实练一、选择题1已知函数f(x)的导函数f(x)满足下列条件：f(x)0时，x2；f(x)0时，1x2；f(x)0时，x1或x2.则函数f(x)的大致图象是()解析：选A根据条件知，函数f(x)在(1，2)上是减函数在(，1)，(2，)上是增函数故选A.2(2019河北省九校第二次联考)函数yx2ln x的单调递减区间是()A(3，1)B.(0，1)C(1，3)D.(0，3)解析：选B法一：令y10，得3x0，故所求函数的单调递减区间为(0，1)故选B.法二：由题意知x0，故排除A、C选项；又f(1)40，曲线f(x)3x24ax与曲线g(
2、x)2a2ln xb有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b的最小值为()A0 B.CD.解析：选B设公共点坐标为(x0，y0)，f(x)3x24ax，f(x)6x4a，又g(x)2a2ln xb，g(x)，两曲线在公共点(x0，y0)处的切线相同，6x04a，即3x2ax0a20，(x0a)(3x0a)0，a0，x00，x0a，又3x4ax02a2ln x0b，b2a2ln aa2.设h(a)2a2ln aa2(a0)，则h(a)4a(ln a1)(a0)，由h(a)4a(ln a1)0(a0)得a，0a时，h(a)时，h(a)0，h(a)h，b，b的最小值为.故选B.6若函数f(x)ex
3、(m1)ln x2(m1)x1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为()A(e2，e) B.C.D.(，e1)解析：选D由题意，函数的定义域为(0，)，f(x)ex(m1)0在(0，)上有两个不相等的实数根，所以m1在(0，)上有两个不相等的实数根，令g(x)，则g(x)，所以函数g(x)在，上单调递增，在(1，)上单调递减，其图象如图所示，要使m1在(0，)上有两个不相等的实数根，则m1g(1)，即m1e，m0，xln a，代入曲线方程得y1ln a，所以切线方程为y(1ln a)2(xln a)，即y2xln a12x1a1.答案：18函数f(x)x2ln x的最小值为_解析：因为f(x)x
4、2ln x(x0)，所以f(x)2x，令2x0得x，令f(x)0，则x；令f(x)0，则0x.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)的极小值(也是最小值)为ln.答案：9若函数f(x)xaln x不是单调函数，则实数a的取值范围是_解析：由题意知f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，要使函数f(x)xaln x不是单调函数，则需方程10在(0，)上有解，即xa，a0.答案：(，0)三、解答题10(2019江西七校第一次联考)已知函数f(x)ex(x22xa)(其中aR，a为常数，e为自然对数的底数)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设曲线yf(x)在(a，f(a)处的切线为
5、l，当a1，3时，求直线l在y轴上截距的取值范围解：(1)f(x)ex(x22xa)ex(2x2)ex(x2a2)，当a2时，f(x)0恒成立，函数f(x)在区间(，)上单调递增；当a2时，f(x)0x22ax或x，函数f(x)在区间(， )，(，)上单调递增，在区间(， )上单调递减(2)f(a)ea(a2a)，由(1)知f(x)ex(x2a2)，所以f(a)ea(a2a2)，所以直线l的方程为yea(a2a)ea(a2a2)(xa)令x0，得截距bea(a3a)，记g(a)ea(a3a)(1a3)，则g(a)ea(a33a2a1)，记h(a)a33a2a1(1a3)，则h(a)3a26a1
6、0(1a3)，所以h(a)在1，3上单调递减，所以h(a)h(1)20，所以g(a)0，解得xln 2，令f(x)0，解得0xln 2，函数f(x)的单调递增区间为(，0)和(ln 2，)，单调递减区间为(0，ln 2)(2)f(x)ex(x1)ex2axx(ex2a)，f(x)为增函数，f(x)0恒成立当x0时，ex2a0恒成立，得a.当x0时，ex2a0恒成立，得a.a.f(x)(x1)exx2b.由(x1)exx2bbx，得(x1)ex(x21)b(x1)当x1时，方程成立当x1时，只需要方程ex(x1)b有2个实根令g(x)ex(x1)，则g(x)ex.当xln 时，g(x)ln且x1
7、时，g(x)0，g(x)在上单调递减，在和(1，)上单调递增，gln 2，g(1)e10，b(e1，)12(2019长春市质量监测(一)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x(其中常数a0)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，且在(0，e上的最大值为1，求实数a的值解：(1)当a1时，f(x)ln xx23x，x0，f(x)2x3，令f(x)0，解得x1，x21，当0x0，所以函数f(x)在上单调递增；当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以函数f(x)在(1，)上单调递增所以f(x)的单调递增区间为和(1，)，单调递减区间为.(2)f(x).令f(x)
8、0，得x11，x2，因为f(x)在x1处取得极值，所以x2x11，当0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e上单调递减，所以f(x)在(0，e上的最大值为f(1)，令f(1)1，解得a2.当01时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，e上单调递增，所以最大值1可能在x或xe处取得，而flna(2a1)ln10，所以f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a.当1e时，f(x)在(0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以最大值1可能在x1或xe处取得，而f(1)ln 1a(2a1)0，所以f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a，与1e矛盾当e时，f(x)在(0
9、，1)上单调递增，在(1，e上单调递减，所以最大值1在x1处取得，而f(1)ln 1a(2a1)0)，则h(x)2x.当x1，3时，h(x)，h(x)随x的变化情况如下表：x13h(x)0h(x)极大值ln 32h(1)，h(3)ln 32，hln ，当x1，3时，h(x)，m的取值范围为.2已知常数a0，f(x)aln x2x.(1)当a4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围解：(1)由已知得f(x)的定义域为(0，)，f(x)2.当a4时，f(x).所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)单调递增所以f(x)只有极小值，且在x2时，f(x)取得极小值f(2)44ln 2.所以当a4时，f(x)只有极小值44ln 2.(2)因为f(x)，所以当a0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在x(0，)上单调递增，没有最小值；当a0得，x，所以f(x)在上单调递增；由f(x)0得，x，所以f(x)在上单调递减所以当a0时，f(x)的最小值为极小值，即falna.根据题意得falnaa，即aln(a)ln 20.因为a0，所以ln(a)ln 20，解得a2，综上实数a的取值范围是2，0)