1、拓展四 导数与零点、不等式等综合运用(精练)【题组一 零点问题】1(2021河北邢台高二月考)已知函数满足，则函数的零点个数为( )A0B1C2D3【答案】B【解析】当时，由，可得，则，即，所以因为，所以，故因为，所以，则设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，则在上单调递增，在上也单调递增，因为，所以,所以有且只有1个零点.故选：B2(2021河南南阳高二月考(理)已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】因为的零点为，所以由，得或，即或因为，所以在，上单调递增，在上单调递减，则的极大值为，极小值为因为，所以，所以结合的图象可得且，解得故选：B3(
2、2021北京首都师范大学附属中学高二期中)若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】解：因为函数有两个不同的零点,所以方程有两个不相等的实数根,所以有两个不相等的实数根,令，所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，由于当，故函数的图像如图，、所以有两个不相等的实数根等价于.故选：B4(2021陕西省洛南中学高二月考(理)函数有三个零点，则的取值范围为_.【答案】【解析】因为函数，所以，令或，所以函数在和上为减函数，在上为增函数，所以当时，取得极小值，且，当时，取得极大值，且，又函数有三个零点，所以，解得.故答案为：5(2021河北邢台高二月考)已知方程有且只
3、有1个实数根，则_.【答案】1【解析】设，则令，得，则在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值故若方程有且只有1个实数根，则故答案为：16(2021福建福州三中高二期中)已知函数，若关于x方程有两个不同的零点，则实数t的取值范围为_【答案】【解析】令，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以，又，所以作出与的图像如下：，令，则方程为，则，令，作出的图像：当，即时，与没有交点，所以方程无根，则无解，不合题意当，即时，与有1个交点，所以方程有1个根为，则有1个解，不合题意当，即时，与有2个交点，所以方程有2个根为，若时，则有2个解，有1个解，所以有3个解，不合题意若时，则有3个解，有1个解，
4、所以有4个解，不合题意若时，则有1个解，有1个解，所以有2个解，合题意因为，所以，即，综上所述，的取值范围为故答案为：7(2021安徽芜湖一中高二期中(理)已知函数有四个零点，则实数t的取值范围为_.【答案】【解析】函数的零点个数，也就是与的交点个数，设，显然函数的定义域为，记，则有，在上单调递增，所以当时，即，所以在上单调递减，当时，即，所以在上单调递增，所以， 同一直角坐标系中画出函数与的大致图象，如图：由图可知，函数与有四个交点，可得.故答案为：8(2021江苏无锡市青山高级中学高二期中)已知函数f(x)，若函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围为_【答案】【解析】当时，则，故在上是增
5、函数.要使函数有两个不同的零点，则函数在与上各有1个零点，显然.故，解得：，综上所述：实数m的取值范围为.故答案为：.9(2021河南高二期中(理)已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)若有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)当时，则的定义域为，且，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.(2)由题意知：定义域为，；当时，恒成立，在上单调递增，不符合题意；当时，令，解得：，当时，单调递减；当时，单调递增；即当时，有极小值也是最小值为.又当时，；当时，；要使有两个零点，只需即可，则，解得：；综上所述：若有两个零点，则的取值范围为.10(2021广东
6、普宁高二期中)设函数，为导函数(1)求的单调区间；(2)令，讨论当时，函数的零点个数【答案】(1)的单调递增区间为，的单调递减区间为；(2)只有一个零点【解析】(1)由已知，有当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增所以的单调递增区间为，的单调递减区间为(2)证明：由(1)有，令，从而当时，故，因此，时，时，在区间单调递减，在区间单调递增时，所以，当时，函数只有一个零点11(2021江苏启东高二期中)已知函数，.(1)求的单调区间；(2)若，求证：只有个零点.【答案】(1)单调增区间是和；单调减区间是；(2)证明见解析.【解析】(1)依题意，函数的定义域为，由，得，又，即 计算得 ，
7、所以.令，得或；令，得，所以的单调增区间是和；单调减区间是；(2)由(1)知，在处取极大值，在处取极小值，当时，的极小值，所以在区间上无零点.由于，而，所以在区间上有且只有个零点.所以时，只有个零点.【题组二 不等式证明问题】1(2021新疆乌市八中高二月考(文)已知函数(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围；(3)在(2)的条件下，有两个不同的根，求证：【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析【解析】解：(1)，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，当时，令，得，所以时，；时，所以在上单调递减，在上单调递增；综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)
8、的定义域为，且，当时，在上单调递增，所以不恒成立，不合题意；当时，在上单调递增，且当时，不合题意；当时，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取到极小值，也是最小值，由题意得恒成立，令，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即.(3)，且在处取到极小值，又时，时，故且，要证明：，只需证明，又，故只需证明：，即证：，即证：，即证：，设，则，因为，所以，由(2)知恒成立，所以，即，所以在上为增函数，所以，即命题成立.2(2021重庆十八中高二月考)已知函数(1)设，试比较与0的大小；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)若使有两个不同的零点，求证：【答案】(1)； (2)； (3)证明
9、见解析.【解析】(1)当时，可得，当时，所以在上为单调递增函数，因为，所以.(2)设函数，则，令，当时，当时，当时，可得，所以当时，在上单调递增函数，且，所以有，可得，当时，有，此时有两个零点，设为，且，又因为且，所以，在上，为单调递减函数，所以此时有，即，可得，此时不恒成立，综上可得，即实数的取值范围是.(3)若有两个不同的零点，不妨设，则为的两个零点，且，由(2)知此时，并且在为单调递增函数，在上为单调递减函数，且，所以，因为，且的图象连续不断，所以，所以，因为，综上可得：.3(2021山东任城高二期中)已知函数(1)求的极值；(2)若，求的值，并证明：【答案】(1)当时，无极值；当时，的
10、极小值为，无极大值；(2)1，证明见解析.【解析】解：(1)当时，在上单调递增.在上无极值.当时，令得；令得.在上单调递减，在上单调递增.的极小值为，无极大值.综上，当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. (2)由(1)可知，当时，在上单调递增，而，当时，即不恒成立.当时，在上单调递减，在上单调递增.令，则当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.设，下面证明当时，即只要证令，则当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.式成立，即成立.4(2021河北邢台高二月考)已知函数.(1)当时，求的极值点.(2)当时，若，且，证明.【答案】(1)极大值点为，无极小值点；(2)证明见解析.【解析】(1)
11、当时，定义域为.则令，解得则函数在上单调递增，在上单调递减.所以为的极大值点，所以的极大值点为，无极小值点.(2)当时，定义域为，则因为，所以，整理得因为，所以，所以.设，则.令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即，故.5(2021山西晋中高二期末(文)已知，(1)讨论的单调性；(2)求证：当时，.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)，当a0时，在上单调递减；a0时，当时，单调递减；当时，单调递增.(2)证明：当a=1时，原不等式等价于欲证，只需证设，当 时，单调递减；当时，单调递增，当)时，单调递增；当时，单调递减，所以，即原命题成立.6(2021河北邯山区新
12、思路学本文化辅导学校高二期中)已知函数(1)若是的极值点，求的值，并判断的单调性(2)当时，证明：【答案】(1)，在上单调递减，在上单调递增；(2)证明见解析.【解析】(1)解：因为是的极值点，所以，得此时，令，则，所以在上单调递增，且因此时，；当时故当时；当时所以在上单调递减，在上单调递增因此是的极值点，故；在上单调递减，在上单调递增(2)证明：当时，因为，所以只需证即可令，则令，则，因为，所以存在，使得，即，即，也可化为，即所以在上单调递减，在上单调递增，所以因为在上单调递增，所以，故，即【题组三 恒成立问题】1(2021重庆十八中高二月考)设函数(1)若，讨论函数的单调性；(2)当时，若
13、不等式对所有的，恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】解：(1)若，则，当时，所以函数在上单调递减，当时，令，得(负值舍去)，当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减；(2)当时，.若不等式对所有的都成立，则对所有的都成立，即,对所有的都成立， 令，则为一次函数，在上单调递增，对所有的都成立，令，则，因为，所以，所以函数在单调递减，所以， ，所以实数的取值范围为.2(2021江西省南昌县莲塘三中高二月考(理)已知函数为奇函数，且在处取得极大值2.(1)求的解析式；(2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由于为奇函数，所以，所以，所以，所以在区间上递增，在区间上递减，在处取得极小值，符合题意.(2)依题意对于任意的恒成立，即.当时，恒成立.当时，可化为，构造函数，当时，递增，所以在区间上，所以在区间上，.所以.
