2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第二册） 拓展二 数列求和常用的方法（精讲）（教师版含解析）.docx

1、拓展二 数列求和常用的方法(精讲)思维导图常见考法考点一 裂项相消法【例1】(2021全国高二课时练习)数列an的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项，等差数列bn满足b1S40，b9a1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若cn，求数列cn的前n项和Wn.【答案】(1) an2n1；bn2n17；(2) .【解析】(1)an是Sn和1的等差中项，Sn2an1，当n2时，anSnSn1(2an1)(2an11)2an2an1，an2an1，当n1时，a1S12a11.a11且an0，2，an是首项为1，公比为2的等比数列，an2n1，Sna1a2an2n1.设bn的公差为d，b1S4

2、15，b9158d1，d2，bn15(n1)22n17.(2)cn，Wn.【一隅三反】1(2021全国)已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn(1)求an及Sn；(2)令bn (nN*)，求数列bn的前n项和Tn【答案】(1)an2n1，Snn(n2)；(2)【解析】(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由于a37，a5a726，a12d7，2a110d26，解得a13，d2an2n1，Snn(n2)(2)an2n1，14n(n1)，故Tnb1b2bn数列bn的前n项和Tn2(2021六盘山高级中学高二月考(文)已知数列的各项均为正数，其前项和满足(1)证明：数

3、列是等差数列；(2)设数列，求数列的前项和【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)由题意，数列的各项均为正数，且满足当时，可得，即，因为，所以，当时，解得所以数列是首项为1，公差为2的等差数列所以数列是等差数列为(2)由(1)知，可得，所以.3(2021内蒙古集宁一中(文)等差数列中，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由已知等差数列中，由可得，由等差数列的定义可得：是以为首项，以为公差的等差数列，所以.(2)由(1)得.所以.考点二 错位相减法【例2】(2021六盘山高级中学高二月考)设等差数列中，各项均为正数的数列的前项为，

4、已知点在函数的图像上，且(1)求数列和的通项公式；(2)设数列满足，数列的前项和为【答案】(1)；(2)【解析】(1)解：设等差数列的公差为，则，；点在函数的图像上，即；数列为等比数列，首项为，公比为3，即(2)解：得，【一隅三反】1(2021四川阆中中学)已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意，数列是首项，公比的等比数列，可得，又由，即，即数列的通项公式.(2)由(1)知，所以，所以，于是，两式相减，可得：，所以.2(2021福建省连城县第一中学高二月考)已知；，在这三个条件中任选一个，补充在下

5、面问题中，并给出解答.设正项等比数列的前项和为，数列的前项和为， ，对都有成立.(1)求数列、的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)时，时，又符合上式，因为为正项等比数列，.选 ，或(舍)选 ，选 由得，或(舍)，(2) - 得：3(2021黑龙江道里哈尔滨三中高二月考)已知数列满足，设.(1)证明：为等差数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)，为等差数列；(2)，得：，考点三 分组求和法【例3-1】(2021河南新郑高二月考(文)已知数列，且，.(1)求的通项公式；(2)求的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1

6、)，所以，又，所以，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以(2)由(1)可得，所以，.【例3-2】(2021全国高二课时练习)已知等差数列an前n项和为Sn，.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；(2)设，求bn前n项和Tn.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)由得.又因为，所以，则，解得；故，.(2).当为偶数时：.当为奇数时：.综上得.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通项公式an；(2)求数列|ann2|的前n项和.【答案】(1)an3n1；(2)【解析】(1)由题意得：，则，又当n2时，

7、由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，数列an的通项公式为an3n1，nN*.(2)设bn|3n1n2|，nN*，b12，b21.当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23.当n3时，Tn3，经验证，当n2时也符合上式.所以，Tn.2(2021江苏姑苏苏州中学高二月考)已知数列是公差为1的等差数列，且，成等比数列(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和【答案】(1)；(2)【解析】(1)设等差数列的通项公式为，由于，成等比数列，则，解得，所以，(2)由题意，所以3(2021全国高二单元测试)已知数列的前n项和为

8、，数列满足.(1)求数列、的通项公式；(2)求.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)由题意，得：，当时，当时，当时，也满足，.(2)由(1)知，即数列是以0为首项，1为公差的等差数列，当n为奇数时，n1为偶数， ；当n为偶数时，n1，n+1均为奇数， ；综上所述，可知：.4(2021全国高二单元测试)等差数列an的公差为正数，a11，其前n项和为Sn；数列bn为等比数列，b12，且b2S212，b2+S310()求数列an与bn的通项公式；()设cnbn+，求数列cn的前n项和Tn【答案】()ann，bn2n；()2n+1【解析】()等差数列an的公差d为正数，a11，数列bn为等比数列，

9、设公比为q，b12，且b2S212，b2+S310，可得2q(2+d)12，2q+3+3d10，解得q2，d1，则an1+n1n，bn2n；()cnbn+2n+2n+2()，则前n项和Tn(2+4+2n)+2()+2(1)2n+1考点四 倒序相加法【例4】(2021全国高二课时练习)已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为( )A100B105C110D115【答案】D【解析】因为函数满足，由可得，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.故选：D.【一隅三反】1(2021新余市第一中学高二月考)已知函数，数列满足，则( )A2018B2019C4036D4038【答案】A【解析】，又，令，则，两式相加得，故选：A2(2021赣州市赣县第三中学高二开学考试(理)已知函数，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得( ).A25B26C13D【答案】C【解析】，即，设，则，则得：，故.故选：C.3(2021河南南阳中学高二月考)已知是上的奇函数，则数列的通项公式为( )ABCD【答案】C【解析】由题已知是上的奇函数，故，代入得：， 函数关于点对称，令，则，得到，倒序相加可得，即，故选：C