1、7.5 正态分布(精讲)思维导图常见考法考点一 正态分布曲线【例1】(2021黑龙江哈尔滨三中高二月考)下列是关于正态曲线性质的说法：曲线关于直线对称，且恒位于轴上方；曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方；曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称；曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；曲线的位置由确定，曲线的形状由确定.其中说法正确的是( )ABCD【答案】A【解析】正态曲线关于直线对称，该曲线总是位于轴上方，故正确；不正确；只有当时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于轴对称；此时为标准正态分布，当时，不是偶函数，故不正确；正态曲线是一条关于直线对称，在
2、处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，故正确；曲线的位置由对称轴确定，曲线的形状由确定，越大，图象越矮胖，越小，图象越瘦高，故正确；故说法正确.故选：A.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线，如图所示，则下列说法正确的是( )A甲类水果的平均质量B乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D乙类水果的质量服从的正态分布的参数【答案】AC【解析】由题图可知甲图像关于直线对称，乙图像关于直线对称.所以，故A正确，C正确；因为甲图像比乙图像更“高瘦”，
3、所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；因为乙图像的最高点为，即，故，故D错误.故选：AC.2(2021全国高二课时练习)(多选)设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中错误的是( )AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)【答案】ABD【解析】由题图可知102，12，P(Y2)P(X1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(Xt)P(Yt)，而P(Xt)1P(Xt)，P(Yt)1P(Yt)，P(Xt)t)，故C正确，D错故选：ABD3(2021全国高二课时练习)
4、(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有( )A曲线在x轴上方，且与x轴不相交B当x时，曲线下降，当x108)=1-P(88X108)=1-P(-X+)(1-0.6827)=0.15865，而0.1586594551500，所以该学生的数学成绩大约排在全市第1500名.故选：A4(2021全国高二课时练习)随机变量服从正态分布N(1,4)，若，则 ( )ABCD【答案】B【解析】因为随机变量服从正态分布N(1，4)，所以正态曲线关于对称，因为，所以，因为，所以，故选：B.考点三 正态分布的应用(解答题)【例3】(2021黑龙江哈尔滨市第六中学校高二期中)哈尔滨市香坊区为了了解全区1
5、万名学生的汉字书写水平，在全区范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制如图所示的频率分布直方图.(1)估算该校50名学生成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)求这50名学生成绩在的人数；(3)现从该校50名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名(从高到低)在全区前228名的人数记为，求的分布列和数学期望.参考数据：，则，【答案】(1)(2)人(3)分布列答案见解析，数学期望：【解析】(1(2)成绩在的人数为人.(3)，所以全市成绩前228名的成绩在90分以上而50人中90分以上的人数为人X的可能取值为：
6、0，1，2.则X的分布列为：X012P【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A类社区(全市共320个)中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量(单位：吨)，得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过8吨的社区定为“超标”社区.垃圾量频数56912867(1)估计该市类社区这一天垃圾量的平均值.(2)若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为个样本社区的平均值(精确到0.1吨，估计该市类社区中“超标”社区的个数.(3)根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“
7、超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为，求的分布列和数学期望附：若服从正态分布，则，.【答案】(1)平均值约为22.76吨(2)51个(3)分布列答案见解析，数学期望：【解析】(1)解：样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则.估计该市类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨.(2)解：据题意，得，即，则.因为，所以估计该市类社区中“超标”社区约51个.(3)解：由频数分布表知8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在内的“超标社区也有4个，则的可能取值为1，2，3，4.，.则的分布列为1
8、234所以.2(2021全国高二课时练习)某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.(1)求400名教职工日行步数(千步)的样本平均数(结果四舍五入保留整数).(2)由频率分布直方图可以认为该校教职工的日行步数(千步)服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数(千步)的人数(结果四舍五入保留整数).(3)用样本估计总
9、体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元.求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.附：若随机变量服从正态分布，则，.【答案】(1)7(2)54(3)分布列见解析，200【解析】(1).(2)，.故该校被抽取的400名教职工中日行步数的人数约为.(3)用样本估计总体，从该校教职工中随机抽取1人，是“超健康生活方式者”的概率为，是“不健康生活方式者”的概率为，是“一般生活方式者”的概率为.由题意知X的可能取值为40
10、0，300，200，100，0，X的分布列为X0100200300400P0.01440.18240.60640.18240.0144.3(2021全国高二单元测试)“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治的价值追求.考试作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用298名职员，其中275个高薪职位和23个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.本次招聘考试的成绩服从正态分布.考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30名.(1)求最低录取分数(结果保留整数)；(
11、2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由.参考资料：当时，令，则.当时， ，.【答案】(1)266；(2)能，理由见解析.【解析】(1)设考生的成绩为X，由题意可知X服从正态分布，即，令，则.由360分及以上的高分考生有30名可得，则，所以，则，可得，所以.设最低录取分数为，则，则 ，则，可得，即最低录取分数为266.(2)考生甲的成绩，所以能被录取，所以不低于考生甲的成绩的人数大约为，即考生甲大约排在第200名，排在前275名，所以能获得高薪职位.4(2021山东胶州高二期中)年辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市将全部采用“”的新高考模式“”指
12、的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试在所有入考考生中有人选考物理，考后物理成绩(满分分)服从正态分布(1)分别估计成绩在和分以上者的人数；(运算过程中精确到，最后结果保留为整数)附1：，(2)本次考试物理成绩服从正态分布令，则，若本次考试物理成绩的前划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？附2：若，则【答案】(1)成绩在的人数约为人，分以
13、上的人数约为684人；(2)63分【解析】(1)正态分布，故均值为55，又所以成绩在的人数约为人由正态分布曲线的对称性可得：，则所以估计分以上的人数约为人(2)设该划线分为，由得，令由题意因为，所以所以，所以5(2021福建泉州高二期末)2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺、不可违.某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄频率分布直方图如图所示.(1)求这100名受访群众年龄的平均数(同一组数据用该区间的中点值代替).(2)由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄服从正态分布，其中近似为.求；从年龄在，的受访群众中，按分层抽样的方法，抽出7人参加访谈节目录制，再从这7人中随机抽出3人作为代表发言，设这3位发言人的年龄落在内的人数为，求变量的分布列和数学期望.参考数据：取，若，则，.【答案】(1)；(2)；分布列详见解析， .【解析】(1)这100名受访群众年龄的平均数为.(2)由(1)知，,所以.分层抽样抽取的7人中年龄在，内的分别有3人，4人.所以的可能取值为0，1，2，3.，所以的分布列为0123故的数学期望.
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