1、6.3 二项式定理(精练)【题组一 二项式展开式】1(2021上海格致中学高三期中)如果，则_.【答案】127【解析】由题可知: ，所以所以，由，所以结果为127故答案为：1272(2021全国高二课时练习)2n2n12nk_.【答案】3n【解析】由二项式的展开式定理可得：原式(21)n3n.故答案为：3n.3(2021全国)用二项式定理展开：(1)；(2).【答案】答案见解析；【解析】(1)(2)【题组二 二项式特定项(二项)系数】1(2021浙江杭州高三期中)展开式中，的系数为( )A20BC160D【答案】D【解析】展开式通项为，令可得，所以的系数为，故选：D.2(2021全国高二课时练
2、习)若二项式的展开式中第m项为常数项，则m，n应满足( )ABCD【答案】A【解析】由题意，得的展开式的通项为，当，即时，为常数项，此时，所以m，n应满足.故选：A.3(2021河北唐山市第十中学)若，则等于( )ABCD【答案】C【解析】由已知条件可知为展开式中的系数，.故选：C.4(2021全国高二课时练习)(多选)已知的展开式中第3项与第2项系数的比是4，展开式里x的有理项有( )ABCD【答案】AB【解析】由题意，得，即，解得或(舍去)，.通项().根据题意，得，解得或.展开式里所有x的有理项为，.故选：AB5(2021全国高二课时练习)在的展开式中，第项的二项式系数是_，第项的系数是
3、_.【答案】 #【解析】因为二项展开式的通项是，当时，所以第项的系数为，二项式系数为.6(2021北京首都师范大学附属中学 )已知的展开式的二项式系数之和为，则_；的系数为_用数字作答【答案】 【解析】由题意可得：展开式中的二项式系数的和是，所以，展开式的通项为，令可得，所以的系数为，故答案为：；.7(2021浙江模拟预测)已知，则_.【答案】【解析】，则展开式通项为，时，故答案为：8(2021山东师范大学附中 )在二项式的展开式中恰好第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是_.【答案】6【解析】由已知，展开式中恰好第3项的二项式系数最大可知，.根据二项式定理设第项是常数项，则：=,令,解
4、得,所以常数项是=6故答案为：69(2021上海市第三女子中学高三期中)在的二项展开式中常数项的系数是_(结果用数值表示)【答案】60【解析】展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：6010(2021上海闵行中学高三期中)展开式的常数项为20，则实数_【答案】【解析】展开式通项公式为，所以，故答案为：11(2021江苏海安高级中学)的展开式中第6项的二项式系数最大，则n可以为_【答案】，10，11【解析】由二项式系数性质知，当是偶数时，第项的二项式系数最大，当是奇数时，第项和第项的二项式系数相等且最大，解得或故答案为：9，10，11【题组三 系数最值】1(2021全国高
5、二课时练习)(多选)下列关于(ab)10的说法，正确的是( )A展开式中的二项式系数之和是1 024B展开式的第6项的二项式系数最大C展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D展开式中第6项的系数最小【答案】ABD【解析】对于选项A，由二项式系数的性质知，二项式系数之和为024，故A正确；对于选项BC，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；对于选项D，由展开式的通项，可知第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故D正确.故选：ABD.2(2021全国高二课时练习)(多选)设二项式n的展开式中第5项是含x的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是( )A第8项B第
6、9项C第10项D第11项【答案】CD【解析】因为展开式的第5项为T5，所以令41，解得n19.所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项故选：CD.3(2021广东深圳实验学校高中部高二月考)(多选)已知n为满足能被整除的正整数的最小值，则的展开式中，下列结论正确的是( )A第项系数最大B第项系数最大C末项系数最小D第项系数最小【答案】AD【解析】因为，因为，所以能被9整除的正整数的最小值是，得，所以，所以的展开式中，二项式系数最大的项为第6项或第7项，因为第7项的系数为正数，第6项的系数为负数，所以第7项系数最大，第6项系数最小，故选：AD4(2021浙江模拟预测)二项式的展开式中，常数项
7、为_，系数最大的项为_.【答案】15 【解析】展开式的通项为，令，解得，所以，即常数项为15，设系数最大的项为项，则，即，解得，所以系数最大的项为.故答案为：15；5(2021全国高二课时练习)已知f(x)(3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项【答案】(1)，；(2).【解析】(1)令，则展开式中各项系数和为，展开式中的二项式系数和为，依题意，即，整理得，于是得，解得，而5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是，；(2)由(1)知展开式通项为，令Tr1项的系数最大，则有，即，整理得，解得，
8、而，从而得，所以展开式中系数最大项为.【题组四 三项式特定项系数】1(2021安徽安庆市第十中学(理)在的展开式中，常数项为( )ABCD【答案】D【解析】在的展开式中的常数项为，在的展开式中的常数项为，其余的项都没有常数项，所以在的展开式中，常数项为.故选：D.2(2021山东泰安)在的展开式中，的系数为( )ABCD160【答案】A【解析】式子可视为6个相乘，要得到，需3个提供，3个提供，所以的系数为故选：A3(2021全国(理)在展开式中，的系数为( )A60B30C15D12【答案】A【解析】由，通项公式可得：；要求的系数，故，此时；其对应的系数为的系数为：故选：A4(2021全国(理
9、)的展开式中的系数为( )ABCD【答案】B【解析】，的展开式通项为，的展开式通项为，所以，的展开式通项为，其中，且、，令，可得或或，因此，的展开式中的系数为.故选：B.5(2022全国(理)在的展开式中，的系数的为170，则正数a的值为( )ABC2D1【答案】C【解析】由题意，又，解得故选：C6(2020江苏泰州中学)在的展开式中，的系数为( )A10B30C45D120【答案】C【解析】，故在的展开式中，的系数即为的的系数，又展开式的通项为，令，故，所以的系数为.故选：C.7(2021陕西咸阳市实验中学(理)的展开式中，的系数为( )A120B480C240D320【答案】C【解析】把的
10、展开式看成6个因式的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再选3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含的项；故含项的系数为：故选：C8(2021江西宁冈中学(理)展开式的常数项为( )A120B160C200D240【答案】B【解析】由题意常数项为故选：B9(2020黑龙江哈尔滨市第六中学校(理)在的展开式中, 项的系数为A10B25C35D66【答案】D【解析】的展开式考虑12个，每个括号内各取之一进行乘积即可得到展开式的每一项，要得到项，就是在12个中，两个括号取，10个括号取1，所以其系数为.故选：D10(2020山西临汾(理)的展开式中，的系数为( )A30B40
11、C60D120【答案】C【解析】看成是5个相乘，要得到.分以下情况:5个因式中，2个因式取，2个因式取，1个因式取,此时的系数2所以的系数为60.故选：C【题组五 多个二项式的系数】1(2021云南峨山彝族自治县第一中学 )展开式中含项的系数为( )ABCD【答案】D【解析】因，于是得展开式中的二次为，所以展开式中含项的系数为9.故选：D2(2021全国高二课时练习)(多选)的展开式中含项的系数为2，则a的值为( )A1BCD【答案】AD【解析】的展开式中含项的系数为即，或.故选：AD3(2021浙江丽水)若，则_，_【答案】 【解析】由题意可知为展开式的系数，由二项式定理可得：的通项公式为，
12、所以令，得，所以.因为令，得，所以故答案为：；4(2021四川树德中学)的展开式中的系数为_.(用数字作答)【答案】【解析】的系数为.故答案为：5(2021上海模拟预测)在的展开式中，与项的系数和为_.(结果用数值表示)【答案】【解析】因为展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，项的系数为，即与项的系数和为故答案为：【题组六 (二项)系数和】1(2021全国高二课时练习)设(2x)6a0a1(1x)a2(1x)2a6(1x)6，则a0a1a2a3a4a5a6等于( )A4B71C64D199【答案】C(2x)6a0a1(1x)a2(1x)2a6(1x)6，令x0，a0a1a2a3a4a5a
13、62664.故选：C.2(2021全国高二课时练习)若，则( )A2B0CD【答案】C【解析】由题意得，.，.故选：C.3(2021全国高三期中)若()且，则_，_【答案】6 63 【解析】由题意可知，即，即，解得或(舍去)，得令，得，又，所以.故答案为：6；634(2021浙江省杭州第二中学 )已知，则=_，=_【答案】 【解析】由题设，则，即；对等式两边求导得：，当时，.故答案为：-240；05(2021全国高二课时练习)的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为，则正实数a的值为_【答案】3【解析】设，令，得，令，得，得，又因为，所以，解得故答案为：36(2021浙江 )若多项式，则_【答
14、案】29【解析】方法一：令则，所以方法二：令则，令，则，7(2021全国高二课时练习)已知.求下列各式的值.(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)令，得 .(2)令x1，得 a0a1a2a51.(3)令x1，得35a0a1a2a3a4a5.由(2x1)5的通项Tk1 (1)k25kx5k，知a1，a3，a5为负值，所以|a0|a1|a2|a5|a0a1a2a3a4a535243.(4)由a0a1a2a51，a0a1a2a535，得2(a1a3a5)135，所以a1a3a5121.8(2021全国高二课时练习)设，求：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(
15、2)(3)【解析】(1)令得：；令得：，.(2)令得：.(3)由(1)(2)知：，两式作和得：，.9(2021全国高二单元测试)设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值；(1)a0；(2)a1a3a5a99；(3)(a0a2a4a100)2(a1a3a99)2.【答案】(1)2100；(2)；(3)1.【解析】1)令x0，则展开式可化为a02100.(2)令x1，得a0a1a2a99a100(2)100令x1，得a0a1a2a3a100(2)100联立得：a1a3a99.(3)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a
16、2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2)100(2)1001.【题组七 整除及余数】1(2021全国高二课时练习)若，则a除以100所得余数是( )A3B13C27D前3个都不对【答案】B【解析】因为当时，是100的倍数，所以a除以100所得余数与除以100所得余数相同，所以a除以100所得余数与，即213除以100所得余数相同，所以a除以100所得余数为13故选：B2(2021山东任城高二期中)今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是( )A星期一B星期二C星期三D星期四【答案】C【解析】由已知可得：即8100除以7后余数为1，因为经过7天后还是星期二，所以经过8
17、100天后是星期三.故选：C3(2021黑龙江哈尔滨三中高二月考)若是11的倍数，则自然数为( )A奇数B偶数C3的倍数D被3除余1的数【答案】A【解析】，又是11的倍数，为偶数，即为奇数故选：A.4(2020广西兴安县兴安中学高二期中(理)设为奇数，那么除以13的余数是( )AB2C10D11【答案】C【解析】因为为奇数，则上式=.所以除以13的余数是10.故选：C.5(2022全国高三专题练习(理)若n为正奇数，则被9除所得余数是( )A0B3C-1D8【答案】D【解析】因为是正奇数，则 又n正奇数，倒数第一项而从第一项到倒数第二项，每项都能被9整除，被9除所得余数是8.故选：D.6(20
18、21江苏扬州高二期中)今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是( )A星期三B星期四C星期五D星期六【答案】D【解析】，由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以4的余数为， 故经过天后是是星期六，故选：D7(2021全国高二课时练习)的计算结果精确到个位的近似值为A106B107C108D109【答案】B【解析】，.故选B8(2021全国高二课时练习) (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 A1.23B1.24C1.33D1.34【答案】D【解析】 (1.05)6 =1+0.3+0.0375+0.0025+1.34故选D9(2021全国高二课时练习
19、)(多选)设，且，若能被13整除，则的值可以为( )A0B11C12D25【答案】CD【解析】 ，又52能被13整除，需使能被13整除，即能被13整除，又，或25.故选：CD10(2021全国高二单元测试)(多选)若能被13整除，则实数的值可以为( )A0B11C12D25【答案】CD【解析】，又52能被13整除，需使能被13整除，即能被13整除，结合选项可知CD满足故选：CD.【题组八 杨辉三角的应用】1(2021山东任城高二期中)习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉
20、1261年所著的详解九章算法一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是( )A9B10C36D45【答案】D【解析】由题意知第10行的数就是二项式(a+b)10的展开式中各项的二项式系数，故第10行第9个数是故选：D2(2021全国高二课时练习)在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第_行会出现三个相邻的数的比为.【答案】63【解析】根据题意，设所求的行数为，则存在自然数，使得且，化简得且，解得，.故第63行会出现满足条件的三个相邻的数.故答案为：633(2021全国高二课时练习)如图，在除去第一行的杨辉三角中，若某行存在相邻的三个数a，b，c满足，则称此行为行，从上往下数，第1个行的行序号是7，第k个行的行序号是_.【答案】【解析】依题意可得，第n行数为，若该行中存在相邻三个数a，b，c满足，则有，化简可得.令，去分母整理可得.因为，所以，所以，则当时得到第一个行，则第k个行满足，此时.故答案为：.
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