1、第3章 圆锥曲线的方程 章末测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案。每题5分，8题共40分)1(2021湖北高三开学考试)P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为( )A3B4C5D9【答案】C【解析】如图，圆C的圆心C为(2,0)，半径r=2， ，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.此时的最小值为：.故选：C.2(2021贵州贵阳市贵阳一中高三月考(理)已知双曲线：的左右焦点分别为，曲线上一点到轴的距离为，且，则双曲线的离心率为( )ABCD【答案】D【解析】作轴于M，如图，依题意，令，则，由双曲线定义知，而，在中，由余弦定理得：，即，又离心率，于是有
2、，又e0，解得，所以双曲线的离心率为.故选：D3(2021全国高三专题练习)在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】设，因为点到直线、的距离之和为，所以点到点和点的距离之和为，由椭圆的定义可知：点的轨迹是椭圆的一部分，以所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，因为正方体的体对角线，所以正方体的棱长为，则，所以，可得点的轨迹为椭圆，所以，则，因为，所以，所以，由此可得，故选：A.4(2021云南昆明市高三(理)已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点若，则的离心率为( )
3、ABC2D【答案】A【解析】设，则， ， ， ， ， ， 离心率，故选：A.5(2021湖北高三开学考试)抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两点，且，且中点到准线的距离为3，则线段的中点到准线的距离为( )A1B2CD3【答案】D【解析】抛物线方程为，则，由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知，即，所以线段的中点到准线的距离为.故选：D6(2021云南师大附中高三月考(理)已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为( )A3BCD【答案】A【解析】设椭圆的右焦点为，又，当三点共线时取等号，的最小值为3(取最小值时是射线与椭圆的交点)，故选：A.7
4、(2021全国)已知双曲线的渐近线夹角为，离心率为e，则等于( )AeBCD【答案】C【解析】取双曲线方程为，易得离心率，故选：C.8(2021辉县市第一高级中学高二月考(文)椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则m的值是( )ABCD【答案】D【解析】解析：显然双曲线焦点在x轴上，故4m2m22. m21，即m1.故选：D.二、多选题(每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9(2021全国高二课时练习)(多选)已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则( )A当时，满足的点有2个B当时，满足的点有4个C的周长小于D的面积大于等于【答案】ABC【解析】对于选项A和选项B，当点的坐标为或
5、时，最大，且当时，易知选项A和B正确；对于选项C，的周长为，故选项C正确；对于选项D，的面积为，故选项D错误故选：ABC.10(2021全国高二课时练习)(多选)已知双曲线，则( )A双曲线的焦距为B双曲线的虚轴长是实轴长的倍C双曲线与双曲线的渐近线相同D双曲线的顶点坐标为【答案】BC【解析】因为，所以，焦距为，所以A错误；因为，所以B正确；双曲线与双曲线的渐近线方程均为，所以C正确；令，得，所以双曲线的顶点坐标为，所以D错误故选:BC11(2021全国高二课时练习)(多选)已知方程表示曲线，则( )A当时，曲线一定是椭圆B当或时，曲线一定是双曲线C若曲线是焦点在轴上的椭圆，则D若曲线是焦点在
6、轴上的双曲线，则【答案】BD【解析】对于A，当时，曲线是圆，故A错误；对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确故选BD12(2021全国高二课时练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，设与轴的交点为，点为上异于的任意一点，点在上的射影为点，的外角平分线交轴于点，过作于点，过作，交线段的延长线于点，则( )ABCD【答案】ABD【解析】对A，由抛物线的定义知A正确；对B，B正确；对C，由题意知，又与不一定相等，与不一定相等，C错误；
7、对D，由题意知四边形为矩形，D正确.故选：ABD三、填空题(每题5分，4题共20分)13(2021四川成都市树德中学高三开学考试(理)已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为_.【答案】【解析】如图，由为椭圆上任意一点，则又为圆上任意一点，则(当且仅当M、N、E共线时取等号)，当且仅当M、N、E、共线时等号成立.，则，的最小值为故答案为： 14(2021广西柳州市柳铁一中高三月考(理)椭圆：的上下顶点分别为，如图，点在椭圆上，平面四边形满足，且，则该椭圆的短轴长为_.【答案】6【解析】解：根据题意可得，设，可得点，在以为直径的圆上，又原点为圆上的弦的中点，所以圆
8、心在的垂直平分线上，所以圆心在轴上，所以，又得，故圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入结合，解得，所以，短轴长为6.故答案为：6.15(2021马鞍山市第二中学郑蒲港分校高二开学考试(理)已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是_【答案】【解析】直线，即为，可得直线恒过定点，圆的圆心为，半径为1，且C，D为直径的端点，由，可得的中点为，设，则，两式相减可得，由，可得，由，即有，则椭圆的离心率16(2021全国高三月考)已知抛物线的焦点为，点为上一点，点为轴上一点，若是正三角形，且，则抛物线的准线方程为_.【答案】【解析】如图，由已知在右侧，作垂直准
9、线于，则，故焦点到准线的距离，准线方程为. 故答案为：四、解答题(17题10分，其余每题12分，共6题70分)17(2021四川成都市高三月考(文)已知椭圆，点分别是其左右焦点，点AB分别为其左右顶点.若两焦点与短轴两端点围成四边形面积为，且圆为该四边形的内切圆.(1)求椭圆C的方程；(2)若以(1)中较圆的椭圆为研究对象，过的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.【答案】(1)或；(2).【解析】(1)设半焦距为，则即，又直线与圆相切，故，故，故，或，椭圆方程为或.(2)较圆的椭圆为根据题意，直线斜率不为0，设直线，联立方程得， 令，则易知单调递增，所以当时，取最大值，此时.18(2021全国高
10、三月考(文)已知椭圆：的左右焦点分别为，且，点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程.(2)为椭圆上一点，射线，分别交椭圆于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)；(2)是定值，定值为.【解析】(1)设椭圆的半焦距为，由题意可得解得，.故椭圆的标准方程为.(2)当点在轴上时，由对称性不妨设点，此时，两点重合，故.当点不在轴上时，由对称性不妨设，此时直线的方程为，联立整理得，则，故.同理可得.故.综上，为定值，且定值为.19(2021长春市基础教育研究中心(长春市基础教育质量监测中心)(文)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，.(1)求
11、椭圆的方程；(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)在中，解得，所以，则椭圆的方程为：.(2)当直线斜率为0时，易知成立，当直线斜率不为0时，设直线方程为，消去有，所以，综上可知不论直线的斜率是否为0，总有.20(2021河南高三月考(文)已知椭圆：过点，且离心率()求椭圆的标准方程；()设的左、右焦点分别为，过点作直线与椭圆交于，两点，求的面积【答案】()；().【解析】()将代入椭圆方程可得，即因为离心率，即，由解得，故椭圆的标准方程为()由题意可得，设直线的方程为将直线的方程代入中，得，设，则，所以，所以，由，解得，所以，因此21(
12、2021广西高三开学考试(理)已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，点M为抛物线C上一点，|MF|=8，且OFM=(O为坐标原点).(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求AOB面积的最小值.【答案】(1)；(2)最小值为8.【解析】(1)抛物线C：y2=2px(p0)的焦点，准线方程为：，过点M作准线的垂线，垂足为N，过点M作x轴的垂线，垂足为D，如图，依题意得：，即，解得，抛物线C的方程为；(2)焦点F(2，0)，由题意知直线l不垂直于y轴，设直线l方程为，由消去x得，设，则有，而坐标原点到直线l的距离，因此，当且仅当时取“=”，所以AOB面积的最小
13、值为8.22(2021全国高二单元测试)在，轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且_(1)求抛物线的标准方程(2)若直线与抛物线交于，两点，求的面积注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】条件选择见解析(1)；(2)【解析】方案一 选择条件(1)由抛物线的定义可得因为，所以，解得 故抛物线的标准方程为 (2)设，由(1)可知 由，得，则，所以，故 因为点到直线的距离，所以的面积为方案二 选择条件(1)因为，所以，因为点在抛物线上，所以，即，解得， 所以抛物线的标准方程为 (2)设，由(1)可知 由，得，则，所以，故 因为点到直线的距离，所以的面积为 方案三 选择条件(1)当轴时，所以 故抛物线的标准方程为 (2)设，由(1)可知由，得，则，所以，故 因为点到直线的距离，所以的面积为
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