1、第1章 空间向量与立体几何章末测试(基础)一单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1(2021北京)如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于( )ABCD【答案】C【解析】，因此，.故选：C.2(2021广东广州市)如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，则( )ABCD【答案】A【解析】连接，如图，则.故选：A.3(2021嫩江市高级中学)对空间任意一点O，若，则A，B，C，P四点( )A一定不共面B一定共面C不一定共面D与O点位置有关【答案】B【解析】因为，所以，所以，即，故，四点共面，故选：B.4(2021全国高二课时练习)已知，则下列向量中与平行的是( )A(1,
2、1,1)B(4,6,2)C(2,3,5)D(2,3,5)【答案】B【解析】若，则，所以；而为(1,1,1)、(2,3,5)、(2,3,5)时，不存在的关系.故选：B5(2021福建泉州市)已知，其中，若，则( )A0B1C2D3【答案】B【解析】因为，所以，解得，因此.故选：B.6(2021浙江高二单元测试)已知点，则，两点的距离的最小值为ABCD【答案】C【解析】因为点，所以有二次函数易知，当时，取得最小值为 的最小值为 故选：C.7(2021全国高二课时练习)已知，若三向量共面，则实数等于( )A2B3C4D5【答案】C【解析】与不共线，则取，作为平面的一组基向量，又三向量共面，则存在实数
3、使得，解得.故选：C8(2021天津)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，则异面直线与之间的距离是( )ABCD【答案】D【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，则，设和的公垂线的方向向量，则，即，令，则，.故选：D.二、 多选题(每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9(2021全国高二课时练习)(多选题)如图，在长方体中，以直线，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则( )A点的坐标为B点关于点对称的点为C点关于直线对称的点为D点关于平面对称的点为【答案】ACD【解析】根据题意知：点的坐标为，选项A正确；
4、的坐标为，坐标为，故点关于点对称的点为，选项B错误；在长方体中，所以四边形为正方形，与垂直且平分，即点关于直线对称的点为，选项C正确；点关于平面对称的点为，选项D正确；故选：ACD.10(2020朝阳市第一高级中学)下列说法正确的是( )A若为空间的一组基底，则三点共线B若为四棱柱，则C若则四点共面D若为正四面体为的重心，则【答案】CD【解析】A：若为空间的一组基底，则向量不共面，知三点不共线，故错误；B：若为四棱柱且底面为平行四边形，即时，才满足，故错误；C：已知，若向量与共线，则也与共线，即四点共面；若向量与不共线，则点在面内，即四点共面，故正确；D：设为的重心，若为的中点，则，所以，即，
5、故正确.故选：CD.11(2021山东泰安市)如图，在正方体中，、分别为、的中点，则( )AB平面CD向量与向量的夹角是【答案】BC【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、.对于A选项，则，故A选项错误；对于B选项，设平面的法向量为，由，可得，取，可得，平面，平面，故B选项正确；对于C选项，故C选项正确；对于D选项，所以，向量与向量的夹角是，故D选项错误.故选：BC.12(2021湖南常德市)如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是( )A三棱锥的体积不变B平面CD平面平面【答案】ABD【解析】对于A，的面积是定值，平面，
6、平面，平面，故到平面的距离为定值，三棱锥的体积是定值，即三棱锥的体积不变，故A正确；对于B，平面平面，平面，平面，故B正确；对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，P在上，故可设，则，则不一定为0，和不垂直，故C错误；对于D，设，则，设平面平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，.平面和平面垂直，故D正确.故选：ABD.三 填空题(每题5分，4题共20分)13(2021全国高二单元测试)若，则_【答案】【解析】因为所以，所以故答案为：14(2021安徽芜湖市)已知空间三点A(0，2，3)，B(，1，1)，C(1，3)，四边形ABCD是平行四边形，其中AC，BD为
7、对角线，则_.【答案】【解析】空间三点，2，1，四边形是平行四边形，设，解得，0，1，故答案为：15(2021浙江高二期末)已知点三点共线，则_，_【答案】0 0 【解析】因为，所以，因为三点共线，所以，所以，即，即，解得故答案为：；16(2021浙江舟山市)已知空间向量，则_；向量与的夹角为_.【答案】 【解析】由，则，所以，所以向量与的夹角为.故答案为：；四解答题(17题10分，其余每题12分，7题共70分)17(2021全国高二课时练习)已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点建立如图所示的空间直角坐标系(1)写出点的坐标；(2)求线段的长度；(3)判断直线与直线是否互相垂直，说明
8、理由【答案】(1)；(2)；(3)不垂直，理由见解析.【解析】(1)由于为坐标原点，所以由得：点N是AB的中点，点M是的中点，；(2)由两点距离公式得：，；(3)直线与直线不垂直理由：由(1)中各点坐标得：与不垂直，所以直线与直线不垂直18(2021全国高二课时练习)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E为BB1的中点，证明：平面AEC1平面AA1C1C.【答案】证明见解析【解析】由题意得AB，BC，B1B两两垂直以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0
9、，2，1)，E，则(0，0，1)，(2，2，0)，(2，2，1)，.设平面AA1C1C的一个法向量为(x1，y1，z1)则令x11，得y11.(1，1，0)设平面AEC1的一个法向量为(x2，y2，z2)则令z24，得x21，y21.(1，1，4)111(1)040.，平面AEC1平面AA1C1C.19(2021全国高二课时练习)如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，平面平面(1)求证：；(2)若M为中点，求证：平面；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1) 在直三棱柱中， 平面ABC，又 平面ABC，平面平面,且平面平面，又 平面,平面，又平面，(2)直三棱柱中，平面，而平
10、面，又，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面 的一个法向量为，则，即，令，则，M为的中点，则，所以，因为，所以，又 平面，平面.20(2021广西)如图，在正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且求证：(1)；(2)【解析】(1)如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，因为，所以，所以，所以，所以(2)由(1)可知，所以，所以22(2021河南商丘市高二月考(理)如图，在正三棱柱中，.()证明：平面；()求二面角的余弦值.【答案】()证明见解析；().【解析】()由条件可知，满足，.，满足，.又，平面.()以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.，设平面的法向量为，取，得.易得平面的一个法向量为，由图可知，二面角的平面角是，夹角的补角，故二面角的余弦值为.
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