1、5.7 三角函数的应用(精讲)思维导图常见考法考法一 圆周运动【例1】(2021河北沧州市一中高一开学考试)如图，某公园摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处.(1)已知在时刻时点距离地面的高度，求时点距离地面的高度；(2)当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？【答案】(1)；(2).【解析】(1)依题意，；又，；，即第时点所在位置的高度为；(2)由(1)知，；依题意：，解得，即，；，转一圈中有时间可以看到公园全貌.【一隅三反】1(2021佛山市南海区罗村高级中学高一月考)如图，某摩天轮上一点在时刻距离
2、地面高度满足，已知摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处，则(米)关于(分钟)的解析式为( )ABCD【答案】C【解析】摩天轮每分钟转一圈，即，故；又摩天轮最高点是米，最低点是米，即，解得，；此时，由题意得，时刻，摩天轮处于最低点，即，故，则，又，解得.故选：C.2(2021广东高一期末)一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点)开始计算时间(1)以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的
3、直角坐标系，试将点P距离水面的高度h(单位：米)表示为时间t(单位：秒)的函数；(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？【答案】(1)；(2)秒【解析】(1)如图所示，标出点M与点N，设，根据题意可知，所以，根据函数的物理意义可知：，又因为函数的最小正周期为，所以，所以可得：(2)根据题意可知，即，当水轮转动一圈时，可得：，所以此时，解得：，又因为(秒)，即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点P距水面的高度超过2米考法二 几何问题【例2】(2021江苏高一期中)如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为(其中)的斜坡前进后到达D处，休息后继续行驶到达山顶B(1
4、)求山的高度；(2)现山顶处有一塔从A到D的登山途中，队员在点P处测得塔的视角为若点P处高度，则x为何值时，视角最大？【答案】(1)4km，(2)km【解析】因为，为锐角，所以，所以，在中，过作于，因为，所以，在中，所以山的高度为4km，(2)过作于，因为，所以，因为在上，所以，所以，所以，令()，则，所以当且仅当，即，时，取得最大值，所以当km时，视角最大【一隅三反】1(2021全国)某公司计划建设一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域ABCD，其中三角形区域ABC中，AB2百米，BC4百米，三角形区域ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，现计划在三角形区域BCD内修建水上项目，则BC
5、D的最大面积为( )A(3+4)平方百米B(3+2)平方百米C(4+2)平方百米D(4+2)平方百米【答案】C【解析】解：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则点的坐标为，点的坐标为， 所以的面积为，易知点A在以点B为圆心，2为半径的圆上，设，则点的坐标为，所以，当时，的面积最大，最大值为.故选：C.2(2021江苏南京二十七中高一期中)如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是( )A18mB20mC24mD30m【答案】C【解析】如图，过A作于，设，记，则，在中，, ,在中，, ,，
6、解得：或(舍去)，所以建筑物，的底部B，D之间的距离是24m.故选：C.3(2021全国)达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对蒙娜丽莎的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：(其中).根据测量得到的结果推算：将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于( )ABCD【答案】C【解析】依题意，设则，设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为则，故选：C考法三 其他问题【例3】19(2021全国高一课时练习)已知某海滨浴场海浪的高度(米)是时间(，
7、单位：时)的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据：(时)03691215182124(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象.(1)根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【答案】(1)，；(2)上午10：00至下午3：00.【解析】(1)由表中数据知，所以.由，得.由，得.故，所以函数解析式为：.(2)由题意知，当时才可对冲浪者开放，所以，所以，所以，即，.又因为，故可
8、令得或或.所以在规定时间10：00至20：00之间，有5个小时可供冲浪者活动，即上午10：00至下午3：00.【一隅三反】1(2021山东潍坊高一期中)潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所产生的周期性运动，我们把海面垂直方向涨落称为潮汐，地球上不同的地点潮汐规律不同下表给出了某沿海港口在一天(24小时)中海水深度的部分统计数据：时间(时)024681012141618202224水深(米)13.41413.4121086.666.68101213(1)请结合表中数据，在给出的平面直角坐标系中，选择合适的点，画出该港口在一天24小时中海水深度与
9、时间的函数图像，并根据你所学知识，请从，(，)，(，)这四个函数解析式中，选取一个合适的函数模型描述该港口一天24小时内水深与时间的函数关系，求出其解析式；(2)现有一货轮需进港卸货，并在白天进行物资补给后且于当天晚上离港已知该货轮进港时的吃水深度(水面到船底的距离)为10米，卸货后吃水深度减小0.8米，根据安全航行的要求，船底至少要留出2.8米的安全间隙(船底到海底的距离)，如果你是船长，请你规划货轮的进港、离港时间，并计算出货轮在该港口停留的最短时长(参考数据：，)【答案】(1)作图见解析；答案不唯一，具体见解析；(2)应安排货轮最晚在凌晨5时进港，最早在晚上22时离港，在港时间最短为17
10、个小时【解析】(1)可选择以下6个点：，其图像如下：选法一：设选取的函数解析式为：(，)，由题意得：，所以，又因为，解得，所以，由，得，所以，又，所以当时，所以，；选法二：设选取的函数解析式为：(，)，求解过程同上，可得，(2)根据题意可知：货轮安全进港的水深至少达到12.8米，由，解得：，即所以，故，又因为，所以，所以可安排货轮在0时到5时之间进港货轮安全离港的水深要求至少达到12米，根据表中数据可知最早在晚上22时后水深符合要求，可安全离港，货轮在港时间最短为17个小时综上规划决策如下：应安排货轮最晚在凌晨5时进港，最早在晚上22时离港，在港时间最短为17个小时2(2021全国高一课时练习
11、)春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度随时间变化近似满足函数(，)，且在每天凌晨时达到最低温度，在下午时达到最高温度，从2时到14时为半个周期.(1)求这段时间气温随时间变化的函数解析式；(2)这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为？注：一昼夜指从凌晨0时(含)到午夜24时(不含).【答案】(1)；(2)每天的6时或22时的气温为.【解析】(1)依题意， 解得根据题意，又时，且，解得，所以；(2)由得，所以或由，解得或，即在每天的6时或22时的气温为.3(2021湖南湘西)如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数(1)求出这段曲线的函数解析式；(2)求满足条件的x的取值范围【答案
12、】(1)，；(2).【解析】(1)由图知，解得，又，即，.所以，代入点，有，所以， ，又，所以取，所以，.(2) 由，得，又，所以，由，得，解得，结合图象可知，的解集为.4(2021辽宁葫芦岛)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情况下，船在涨时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深值(单位：m)记录表时刻(t)0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深值(s)5.07.55.02.55.07.55.02.55.0据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似地用三角函数
13、来描述(1)根据表中数据，做出函数简图：(2)结合数据、图像等因素，选用你认为恰当的三角函数，求出解析式；并估计11:00时的水深值；(3)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为，安全条例规定至少要有的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能停多久？【答案】(1)作图见解析；(2)，3.75米；(3)货船可以在1时进港，5时出港或中午13时进港，17时出港，每次可以在港口停留4小时.【解析】(1)(2)根据图象可考虑用函数刻画水深与时间的关系，从数据和图象可得： 易知，所以， 当时，(米) (3)货船的安全水深为(米)当时可以进港，于是有，整理得解得： 又当时，；当时，所以，货船可以在1时进港，5时出港或中午13时进港，17时出港，每次可以在港口停留4小时
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