1、4.2 指数函数(精讲)思维导图常见考法考法一 指数函数的判断【例1】(1)(2021上海高一专题练习)下列是指数函数的是( )ABCD(2)(2021全国高一专题练习)若函数(，且)是指数函数，则_，_.【答案】(1)D(2)-1 2 【解析】(1)根据指数函数的特征:系数为1，底数满足且，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足,D满足.故选：D.(2)根据指数函数的定义，得解得故答案为：；2【一隅三反】1(2021全国高一专题练习)(多选)下列各函数中，是指数函数的是( )Ay(3)xBy3xCy3x1Dyx【答案】BD【解析】由指数函数定义知，指数函数的一般形式为：选项A中， ，所以选项
2、A错误；根据指数函数的定义，选型BD正确；选项C中，不符合指数函数的形式，选项 C错误；故选：BD.2(2021全国高一专题练习)若函数是指数函数，则_.【答案】2【解析】由是指数函数，可得解得.故答案为：23(2021全国高一专题练习)下列函数中是指数函数的是_(填序号)；.【答案】【解析】中指数式的系数不为，故不是指数函数；中，指数式的系数不为，故不是指数函数；是指数函数故答案为：考法二 指数函数的解析式与函数值【例2】(1)(2021全国高一专题练习)若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(1)_.(2)(2021全国)已知函数，则_.【答案】(1)(2)16【解析】(1)设f(
3、x)ax(a0，且a1)，将点(2，9)代入，得a29，解得a3或a3(舍去).所以f(x)3x.所以f(1)31.故答案为：(2)根据题意，函数，则，则，故答案为：16.【一隅三反】1(2021全国高一单元测试)指数函数的图象经过点，则a的值是( )ABC2D4【答案】B【解析】因为的图象经过点，所以，解得，故选：B.2(2021太原市第五十六中学校高一月考)若指数函数的图象经过点，则_，_【答案】 【解析】设(且)，因为的图象经过点，所以，可得，所以，所以，故答案为：；.考法三 指数函数的值域与定义域【例3】(2021全国高一专题练习)求下列函数的定义域和值域：(1)； (2)； (3).
4、【答案】(1)，y|y0且y1；(2)，；(3)x|x0，xR，.【解析】(1)x应满足x20，x2，定义域为x|x2，xR.，的值域为y|y0，且y1.(2)定义域为R.|x|0，此函数的值域为1，).(3)由题意知，x0，定义域为x|x0，xR.x0，0y1，此函数的值域为0，1).【一隅三反】1(2021全国)函数的定义域为( )ABCD【答案】D【解析】由题意得，所以，解得故选：D.2(多选)(2021全国)若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是( )ABCD【答案】BC【解析】当时，函数在区间上为单调递增函数，当时，当时，所以，即，解得或，因为，所以；当时，函数在区间
5、上为单调递减函数，当时，当时，所以，即，解得或，因为，所以.综上可得，实数的值为或.故选：BC3(2021全国高一课时练习)若函数f(x)的定义域是1，)，则a的取值范围是( )A0，1)(1，)B(1，)C(0，1)D(2，)【答案】B【解析】axa0，axa，当a1时，x1故函数定义域为1，)时，a1故选：B4(2021上海高一专题练习)函数y的定义域_； 值域_ .【答案】R (0，1) 【解析】函数的定义域为R.y1，又3x0，13x1，01，10，011，函数的值域为(0，1)故答案为：R；(0，1)5(2021河南高一期末(文)函数的最小值为( )AB1C2D【答案】D【解析】令，
6、则，故原函数化为，当时，可得最小值为故选：D考法四 指数函数的定点【例4】(1)(2021上海高一专题练习)函数的图像恒过定点_.(2)(2021高邮市临泽中学高一月考)已知函数(且)的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为_【答案】(1)(2)4【解析】(1) ，令，得， 函数的图象恒过定点，故答案为：.(2)函数且的图象恒过定点，可得 ，点在一次函数的图象上，所以 ，当且仅当时取得等号；故答案为：4【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)已知函数(且)的图象恒过定点，则点的坐标为_.【答案】【解析】时，所以函数图象恒过定点故答案为：2(2021上海市建
7、平中学高一期末)对于任意实数，函数(且)的图像经过一个定点，则该定点的坐标是_【答案】【解析】因为函数图像可以通过向左平移个单位得，再将图像上的点向上平移个单位得到，且指数函数(且)恒过定点，所以函数(且)的图像经过定点.故答案为：3(2021上海市民办西南高级中学高一月考)函数的图象恒过定点_.【答案】【解析】当时，的图象恒过定点.故答案为：.考法五 比较大小【例5】(2021江西高安中学高一月考)已知，则，的大小关系为( )ABCD【答案】A【解析】由题意，构造函数，由指数函数和幂函数的性质，可知两个函数在单调递增；由于；由于；综上：故选：A【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)已知，
8、则的大小关系为( )ABCD【答案】B【解析】，递增，且，即.故选：B.2(2021全国高一课时练习)下列判断正确的是( )A2.52.52.53B0.820.83C4D0.90.30.90.5【答案】D【解析】对于项，y2.5x是增函数，且2.53，2.52.52.53,对于B项，y0.8x是减函数，且20.83,对于C项，y是增函数，且，对于D项，y0.9x是减函数，且0.30.90.5故选：D3(2021全国)已知，则( ).A B C D【答案】C【解析】，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，则，故选：C.考法六 解指数不等式【例6】(1)(2021新疆维吾尔自治区阿克苏地区第
9、二中学高一期末)若满足不等式，则函数的值域是( )ABCD(2)(2021浙江高一期末)已知函数，若，则实数a的取值范围是( )ABCD【答案】(1)B(2)A【解析】(1)由可得，因为在上单调递增，所以即，解得：，所以，即函数的值域是，故选：B.(2)因为，当时单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即不等式的解集为故选：A【一隅三反】1(2021全国高一专题练习)若，则( )ABCD【答案】C【解析】令,为R上的单调递减函数，由已知得：,故选：C.2(2021辽宁高一月考)设，则是的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条
10、件【答案】B【解析】，即不能够推出，而能够推出，命题是命题的必要不充分条件故选：B3(2021全国高一课时练习)函数f(x)，若有f(a)f(a2)4，则a的取值范围是_.【答案】(1，)【解析】设F(x)f(x)2，则F(x)，易知F(x)是奇函数，F(x)1在R上是增函数，由f(a)f(a2)4得F(a)F(a2)0，于是可得F(a)F(2a)，即a2a，解得a1.答案：(1，)考法七 指数型函数的单调性【例7】(1)(2021全国高一课时练习)函数y的单调递减区间为( )A(，0B0，)C(，D，)(2)(2021江苏高一课时练习)函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是( )ABCD
11、【答案】(1)B(2)C【解析】(1)数yu在R上为减函数，欲求函数y的单调递减区间，只需求函数ux22的单调递增区间，而函数ux22的单调递增区间为0，)，故所求单调递减区间为0，).故选:B(2)满足对任意，都有成立，在上是减函数，因为，解得，的取值范围是故选：【一隅三反】1(2021全国高一单元测试)“”是“函数在上为增函数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若在上为增函数，则，即，因为是的充分不必要条件，所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件.故选：A2(2021全国)已知函数，其中，且，若在上单调，则的取值范围是( )A
12、BCD【答案】B【解析】函数，其中，且，因为函数在上单调，又因为函数在上为减函数，所以函数在上为减函数，则函数在上为减函数，可得，且有，解得.综上可知，实数的取值范围是.故选：B.3(2021汕头市达濠华侨中学高一期末)已知函数，则的单调递增区间是_【答案】【解析】函数是由和复合而成，因为为单调递增函数，对称轴为，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的单调递增区间为，故答案为：.4(2021全国高一专题练习)已知函数是R上的奇函数.(1)求的值；(2)用定义证明在上为减函数；(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)证明见
13、解析；(3).【解析】(1)由函数是R上的奇函数知，即，解得.(2)由(1)知.任取，则因为，所以，所以，又因为，故，所以，即所以在上为减函数.(3)不等式可化为因为是奇函数，故所以不等式可化为由(2)知在上为减函数，故即即对于任意，不等式恒成立.设易知因此所以实数的取值范围是.考法八 图像问题【例8】(1)(2021全国高一课时练习)已知，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为( )ABCD(2)(2021河北安平中学)函数的图象不可能为( )ABCD【答案】(1)A(2)C【解析】(1)与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知
14、：选A故选：A(2)当时，图象A满足；当时，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；当时，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；图象C过点，此时，故C不成立.故选：C.【一隅三反】1(多选)(2021全国高一专题练习)函数(a0，a1)的图象可能是( )ABCD【答案】CD【解析】当a1时，(0，1)，因此x0时，0y11，且yax在R上单调递增，故C符合；当0a1，因此x0时，y0，且yax在R上单调递减，故D符合.故选：CD.2(2021年广东)已知0mn1，则指数函数ymx，ynx的图象为()【答案】C【解析】由于0mn1，b1，b0C0a0 D0a1，b0【答案】D【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0a1；从曲线位置看，是由函数yax(0a0，即b0.
