1、3.3 幂函数(精讲)思维导图 常见考法 考点一 幂函数的概念【例1】(1)(2020全国高一课时练习)在函数，中，幂函数的个数为( )A0B1C2D3(2)(2021福建高一期末)若函数是幂函数，则( )A0B1C0或2D1或2【答案】(1)B(2)C【解析】(1)因为，所以是幂函数；由于出现系数2，因此不是幂函数；是两项和的形式，不是幂函数；()，可以看出，常数函数的图象比幂函数的图象多了一个点，所以常数函数不是幂函数.故选：B.(2)若函数是幂函数，则，解得：或，当时，符合题意，当时符合题意，所以或，故选：C【一隅三反】1(2021陕西高一期末)已知函数为幂函数，则_.【答案】【解析】由
2、于函数为幂函数，则，即，解得或，所以，因此，.故答案为：.2(2021年广东湛江)在函数y，y2x2，yx2x，y1中，幂函数的个数为 【答案】1【解析】yx2，是幂函数；y2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；yx2x是两项和的形式，不是幂函数；y1x0(x0)，可以看出，常函数y1的图象比幂函数yx0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y1不是幂函数3.(2021年广东潮州)已知y(m22m2)2n3是幂函数，求m，n的值【答案】见解析【解析】由题意得解得或所以m3或1，n.考点二 幂函数的三要素【例2】(1)(四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高一下学期开学考试数学试题)若
3、幂函数的图象过点，则_(2)(2021上海高一课时练习)在函数；中定义域与值域相等的有_个.【答案】(1)(2)3【解析】(1)设，则，所以，所以故答案为：(2)的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.故定义域与值域相等的有, 和故答案为：3【一隅三反】1(2021安徽高一期末)已知点在幂函数的图象上，则等于_.【答案】【解析】由题意，可设，又在上，即，故答案为：.2.(专题4.3幂函数(A卷基础篇)设，则使函数yx的定义域为R的所有的值为( )A1,3B1,1C1,3D1,1,3【答案】A【解析】当时，函数y的定
4、义域为，不是R，所以不成立；当时，函数y的定义域为，不是R，所以不成立；当或时，满足函数yx的定义域为R，故选：A.考点三 幂函数的性质【例3】(1)(2021广西高一期末)幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是( )ABCD(2)(2021安徽高一开学考试)已知幂函数是偶函数，则_.(3)(2021安徽省安庆九一六学校高一开学考试)已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是( )ABCD(4)(2021上海高一期末)幂函数，及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： (如图所示)，那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是( )ABCD【答案】(1)C(2)4(3)C(4)B【解析】(
5、1)因为幂函数过点，所以，解得，所以，那么可知函数的增区间为故选：C(2)因为函数为幂函数，所以，解得或.当时，函数为奇函数，不合题意；当时，函数为偶函数，所以.故答案为：.(3)因为幂函数的图像过点，所以，所以，所以，由于函数在上单调递增，所以，解得：故的取值范围是.故选：C.(4)对于幂函数，因为 ，所以在第一象限单调递减，根据幂函数的性质可知：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近轴 ，因为，所以的图象比的图象更接近轴 ，所以进过第卦限，在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近轴，因为，所以的图象位于和之间，所以经过卦限，所有函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是，故选：B 【一隅三反】1(2
6、021辽宁实验中学高三其他模拟)幂函数在为增函数，则的值是( )ABC或D或【答案】B【解析】为幂函数，解得：或；当时，则在上为减函数，不合题意；当时，则在上为增函数，符合题意；综上所述：.故选：B.2(2021重庆巴蜀中学高一期末)已知幂函数在其定义域内不单调，则实数m=( )AB1CD【答案】A【解析】由幂函数定义，解得：或，又在定义域内不单调，所以，故选：A3(2021四川高一期末)若幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数，则=( )A0B1C2D3【答案】C【解析】因为是幂函数，所以；又在上是增函数， 所以，解得，因为，所以或或，当时，因为，所以是奇函数，不满足题意，舍去；当时，因为
7、，所以是偶函数，满足题意；当时，是奇函数，不满足题意，舍去；故，所以.故选：C.4(2021上海高一期末)在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为( )ABCD【答案】A【解析】对于A，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，符合题意；对于B， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，不符合题意；对于C，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；对于D， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；故选：A5(2021全国高一课时练习)(多选)已知幂函数，m，n互质)
8、，下列关于的结论正确的是( )A当m，n都是奇数时，幂函数是奇函数B当m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数C当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D当时，幂函数在上是减函数【答案】AB【解析】，当m，n都是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，幂函数在时无意义；故C中的结论错误；当时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误故选AB6(2021海南省)(多选)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )ABCD【答案】AB【解析】对于选项A：是奇函数且是增函数，故选项A正确；对于选项B：是奇函数且是增函数
9、，故选项B正确；对于选项C：是奇函数，在和单调递增，但在定义域内不是增函数，故选项C不正确；对于选项D：是偶函数，不符合题意，故选项D不正确；故选：AB7(2021广东高一期末)已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】幂函数过点，幂函数，显然是奇函数，且在上单调递增若，则不等式即，故答案为： 考点四 幂函数的综合运用【例4】(2021湖南高一月考)已知幂函数在区间上单调递增.(1)求的解析式；(2)用定义法证明函数在区间上单调递减.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)解：由题可知：，解得或.若，则在区间上单调递增，符合条件；若，则在区间上单调递减，不符合条件.故.(
10、2)证明：由(1)可知，.任取，且，则.因为，所以，所以，即，故在区间上单调递减.【一隅三反】1(2021福建仙游一中高一开学考试)若幂函数在其定义域上是增函数.(1)求的解析式；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【解析】(1)因为是幂函数，所以，解得或，又是增函数，即，则；(2)因为为增函数，所以由可得，解得或的取值范围是或.2(2021平罗中学高一期末)已知幂函数在上是增函数(1)求的解析式(2)若，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【解析】(1)因为是幂函数，所以，解得或因为在上是增函数，所以，解得，则，故(2)因为为上的增函数，因为所以，解得：，故的取值范围是3(2021湖南高一月考)已知幂函数()是偶函数，且在上单调递增(1)求函数的解析式；(2)若，求的取值范围；(3)若实数，(，)满足，求的最小值【答案】(1)；(2)；(3)2【解析】(1)，()即或在上单调递增，为偶函数即(2)，(3)由题可知，当且仅当，即，时等号成立所以的最小值是2
