1、3.1 函数的概念及其表示(精讲)思维导图 常见考法考点一 区间的表示【例1】(2021广东湛江)用区间表示下列数集：(1)； (2)；(3)； (4)R；(5)； (6)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【解析】(1)；(2)；(3)；(4)R=；(5)；(6)【方法总结】（1） 用区间表示数集的原则有数集是连续的；左小右大；区间的一端是开或闭不能弄错；（2） 用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别【一隅三反】1(2021安徽)已知为一个确定的区间，则a的取值范围是_.【答案】.【解析
2、】由为一个确定的区间知，解得，因此a的取值范围是.故答案为：2(2021广东潮州)用区间表示下列集合：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【答案】(1)；(2)；(3)；(3)；(4)；(5).【解析】集合中六个集合对应的区间分别为(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6).考点二 函数的判断【例2】(1)(2021全国高一课时练习)下列图形中，不可能是函数图象的是( )ABCD(2)(2021全国高一课时练习)设集合，则下述对应法则中，不能构成A到B的函数的是( )ABCD【答案】(1)D(2)D【解析】(1)根据函数的定义，一个自变量对应唯一的函数值，表现在图像上，用一条垂
3、直于轴的直线交函数图像，至多有一个交点所以D不是函数图像故选：D(2)对于A，对应，当 时，在集合任取一个值，在集合中都有唯一的一个值与之对应，故中的对应能够成映射对于B，对应，当 时，在集合任取一个值，在集合中都有唯一的一个值与之对应，故中的对应能够成映射对于C，对应，当 时，在集合任取一个值，在集合中都有唯一的一个值与之对应，故中的对应能够成映射对于D，对应 ，当 时，显然不在集合中，不满足映射的定义，故中的对应不能构成到的映射故选：D 【一隅三反】1(2021广西)下列各图中，不可能表示函数y=f(x)的图象的是( )ABCD【答案】B【解析】函数定义是对应定义域中的每个x值都有唯一确定
4、的y值与之对应选项B中图象，对于的x值，有两个y值与之对应，故不是函数图象；选项ACD中图象，均满足函数定义，故是函数图象故选：B.2(2021广东中山市)(多选)设集合，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有( )A B C D 【答案】BC【解析】对于A，由图像可知，函数的定义域为，而集合，不符合题意；对于B，由图像可知，函数的定义域为，值域为，满足函数的定义，故正确；对于C，由图像可知，函数的定义域为，值域为，满足函数的定义，故正确；对于D，由图像可知，图形中一个有两个值与之相对应，不满足函数的定义，故不正确.故选：BC3(2021全国高一课时练习)有对应法则f：(1)A0
5、，2，B0，1，x；(2)A2，0，2，B4，xx2；(3)AR，By|y0，x；(4)AR，BR，x2x1；(5)A(x，y)|x，yR，BR，(x，y)xy.其中能构成从集合A到集合B的函数的有_(填序号)【答案】(1)(4)【解析】(1)由函数的定义知，正确； (2)当x0时，B中不存在数值与之对应，故错误；(3)当x0时，B中不存在数值与之对应，故错误；(4)由函数的定义知，正确； (5)因为集合A不是数集，故错误；故答案为：(1)(4)考点三 函数的定义域【例3-1】(1)(2021浙江高一期末)函数的定义域( )ABCD(2)(2021全国高一课时练习)函数定义域为( )A2，+)
6、B(2，+)C(2，3)(3，+)D2，3)(3，+)【答案】(1)C(2)C【解析】对于函数，有，即，解得.因此，函数的定义域为.故选：C.(2)要使函数有意义， 则，解得且，所以的定义域为.故选：C.【例3-2】(2021广东)(1)已知的定义域为，求函数的定义域；(2)已知的定义域为，求的定义域；(3)已知函数的定义域为，求函数的定义域【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)中的的范围与中的x的取值范围相同，即的定义域为(2)由题意知中的，.又中的取值范围与中的x的取值范围相同，的定义域为(3)函数的定义域为，由，得，的定义域为又，即，函数的定义域为.【一隅三反】1(2021辽河油
7、田第二高级中学高一开学考试)函数的定义域是( )ABCD【答案】C【解析】要使函数有意义，需，所以函数的定义域是.故选：C.2(2021云南文山壮族苗族自治州)函数的定义域是( )ABCD【答案】C【解析】要使函数有意义，则，即，所以且，即函数的定义域为.故选：C3(2021广西崇左市崇左高中高一开学考试(文)函数的定义域为( )A B C D【答案】B【解析】由可解得且，的定义域为.故选：B.4(2021江苏高一)函数的定义域为( )AB，且CD【答案】C【解析】由题设可得，故或，故选：C.5(2021安徽芜湖市)已知函数，则函数的定义域是( )A-5，4B-2，7C-2，1D1，4【答案】
8、D【解析】由，则，解得，所以函数的定义域满足 ，解得，所以函数的定义域为1，4.故选：D6(2021上海浦东新区)已知函数的定义域为，则函数的定义域为_.【答案】【解析】函数的定义域为，则函数中，解得，故答案为：.7(2021黑龙江大庆市)若函数的定义域为，则函数的定义域是_【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以，则，且，解得，所以函数的定义域是，故答案为：8.(2021云南)已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】【解析】由题函数的定义域为，在中，所以，在中，所以.9(2020江苏高一课时练习)(1)已知f(x)的定义域为0，2，求y=f(x+1)的定义域；(2)已知y=f(x+1)
9、的定义域为0，2，求f(x)的定义域；(3)已知函数y=f(2x1)的定义域为1，1，求函数y=f(x2)的定义域.【答案】(1)1，1；(2)1，3；(3)1，3.【解析】(1)已知f(x)的定义域为0，2，则0x2，由0x+12，得1x1即y=f(x+1)的定义域为1，1；(2)已知y=f(x+1)的定义域为0，2，则0x2，则1x+13，即y=f(x)的定义域为1，3；(3)已知函数y=f(2x1)的定义域为1，1，则1x1，则22x2，32x11由3x21，得1x3，即函数y=f(x2)的定义域为1，3.考点四 函数的表示方法【例4-1】(2021陕西咸阳市)德国数学家狄利克雷在183
10、7年提出：“如果对于的每一个值， 总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图像、表格还是其它形式.已知函数由下表给出，则的值为( ) 12345A2B3C4D5【答案】D【解析】由题意知：，故选D【例4-2】已知函数f(x)x1，x1,2,3,4，试分别用图象法和列表法表示函数yf(x)【答案】见解析【解析】用图象法表示函数yf(x)，如图所示用列表法表示函数yf(x)，如表所示x1234y2345【例4-3】(2021上海高一专题练习)(1)已知求的解析式.(
11、2)已知函数，求函数，的解析式(3)已知是二次函数，且，求的解析式(4)已知函数满足，则=_.【答案】(1)，；(2)；(3)；(4).【解析】(1)令，当时，当且仅当时，等号成立；当时，当且仅当时，等号成立；所以；又，所以，因此，；(2)令，因为，所以，即；所以；(3)设二次函数，因为，所以，即，即，因此，解得，所以；(4)因为函数满足，所以，可得：，整理得.【方法总结】求函数解析式的常用方法：1.换元法：已知的解析式，求时，常用换元法求解，求解时利用，求出，再由相等函数的概念，即可得出结果；2.待定系数法：已知函数类型求解析式时，常永待定系数法求解，先设函数解析式，根据题中条件，列出关于待
12、定系数的方程组，求出待定系数，即可得出解析式；3.消元法（解方程组法）：已知与、与（为常数）等之间的关系式，只需结合原式得出新的式子，两式联立，利用消元法，即可求出.【一隅三反】1(2021湖北恩施土家族苗族自治州)若一次函数满足，则_【答案】【解析】设，则，故，故，故，故答案为：.2(2021全国高一课时练习)已知，则的解析式为_【答案】【解析】令，则，故答案为：3.(2021年云南节选)根据下列条件，求函数的解析式；(1)已知是一次函数，且满足；(2)已知函数为二次函数，且，求的解析式；(3)已知；(4)已知等式对一切实数都成立，且；(5)知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立(6)已知，
13、求的解析式；【答案】(1)；(2)(3)或；(4)；(5).(6)；【解析】(1)设，则所以解得：所以；(2)设 ，解得： (3)，令，由双勾函数的性质可得或，或(4)因为对一切实数都成立，且令则，又因为所以，即(5)将代入等式得出，联立，变形得：，解得(6)由题意得：定义域为设，则 5.作出下列函数的图象：(1)y2x1，x0,2； (2)y，x2，)； (3)yx22x，x2,2【答案】见解析【解析】(1)当x0,2时，图象是直线y2x1的一部分如图所示，(2)当x2，)时，图象是反比例函数y的一部分如图所示，(3)当2x2时，图象是抛物线yx22x的一部分如图所示，考点五 两个函数相等【
14、例5】(2021浙江)下列函数中，与函数是相等函数的是( )ABCD【答案】B【解析】的定义域为；对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误；对于B，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误；对于D，与解析式不同，不是同一函数，D错误.故选：B.【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)下列函数中，表示同一个函数的是( )Ay=x2与y=()4 By=x2与y=t2Cy=与y= Dy=与y=【答案】B【解析】对于A：y=x2的定义域为R，y=()4的定义域为0，+)，定义域不同，不是同一个函数；对于B：y=x2与y=t2显然是
15、同一个函数；对于C： y=的定义域为x|x0，的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；对于D：y=的定义域为1，+)，y=的定义域为(-，-11，+)，定义域不同，不是同一个函数.故选：B.2(2021东莞市光明中学高一开学考试)判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )(1)，()；(2)，；(3)，；(4)，A(1)，(4)B(2)，(3)C(1)D(3)【答案】A【解析】(1)中，；的定义域相同，解析式相同，故表示同一函数；(2)中，的定义域是，的定义域是或，两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；(3)中，的定义域相同，对应法则不同，故不表示同一函数；(4)中，定义域，解析式均相同
16、，故表示同一函数；故选：A3(2021福建三明市高一期末)下列各组函数中表示同一函数的是( )A，B，C，D，【答案】B【解析】A. 的定义域为，的定义域为R，故不是同一函数；B. 与定义域都为R，且解析式相同，故是同一函数；C. 的定义域为，的定义域为R，故不是同一函数；D. 与解析式不同，故不是同一函数；故选：B 考点六 函数值【例6】(1)(2021吉林延边朝鲜族自治州高一期末)已知，则的值为( )ABCD(2)(2021全国高一课时练习)函数f(x)对于任意实数x均满足f(x+2)=，若f(1)=-5，则f(f(5)=( )A2 B5 C-5D-(3)(2021四川省)已知，且，则(
17、)ABCD【答案】(1)C(2)D(3)C【解析】(1)由函数，令，可得，所以.选：C.(2)因为f(x+2)=，所以f(5)=f(1)=-5，所以f(f(5)=f(-5)，又因为f(x)=，所以f(-5)=f(-1)=-.所以f(f(5)=f(-5)=-. 故选：D.(3)，且，所以，解得.故选：C.【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)已知函数，且，则实数_.【答案】1或2【解析】由得，解得或.故答案为：1或22(2021福建福州市)已知函数，若，则实数的值为_【答案】【解析】已知函数，若，则，解得.故答案为：.3(2021江苏南通市高一期末)已知函数满足：，且对任意的实数x，都有成立
18、，则_.【答案】【解析】解：因为函数满足：，且对任意的实数x，都有所以又，所以故答案为：4(2021全国高一课时练习)已知，则_.【答案】15【解析】由题意，令，则，所以.故答案为：.考点七 分段函数【例7-1】(1)(2021浙江高一期末)已知则( )A7B2C10D12(2)(2021浙江高一期末)设，则( )ABCD(3)(2021新疆乌苏市第一中学高一开学考试)已知函数，若，则a的值是( )A3或B或4CD3或或4【答案】(1)D(2)B(3)B【解析】(1)由题意故选：D(2)由题意，故选：B.(3)由函数，当时，解得 ，当 时，解得，综上：或，故选：B【例7-2】(2021全国高一
19、课时练习)已知函数f(x)=求：(1)画出函数f(x)的简图(不必列表)；(2)求f(f(3)的值；(3)当-4x3时，求f(x)取值的集合【答案】(1)答案见解析；(2)11；(3)【解析】(1)由分段函数可知，函数f(x)的简图为：(2)因为，所以；(3)当时，当时，当时,，时，取值的集合为【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)设，则的值为( )A16B18C21D24【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.2(2021全国高一课时练习)已知f(x)= ，则f(g(2)=( )A-3B-2C3D-1【答案】C【解析】因为，所以，所以选：C3(2021保定市徐水区第一中学高一期末)设函数则()A1B0C1D4【答案】D【解析】因为，所以，故选：D.4(2021广东清远市高一期末)已知函数则( )AB-4CD4【答案】C【解析】由可得，所以故选：C5(2021全国高一)设函数，若，则t的值是( )A2B0C0或D【答案】D【解析】由题意，函数，可得，又由，即，可得当，即t的值是.故选：D.6(2021全国高一)已知函数(1)求的值；(2)画出函数的图象【答案】(1)；(2)图象见解析.【解析】(1)，则；(2)函数的图象如下图所示：
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