1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-第 41 课时 抛物线的简单几何性质 一、选择题 1抛物线的焦点在直线 xy20 上，则抛物线的标准方程为()Ay24x 和 x24y By24x 和 x24y Cy28x 和 x28y Dy28x 和 x28y 解析：直线 xy20 与两坐标轴的交点为(2,0)，(0,2)若抛物线的焦点为(2,0)，设其方程 y22px，由p22 得2p8，所求方程为y28x；若抛物线的焦点为(0,2)，设其方程为 x22py，由p22 得 2p8，所求方程为x28y.答案：C 2直线 ykx2 与抛物线 y28x 有且只有一个公共点，则 k 的值为(
2、)A1 B1 或 3 C0 D1 或 0 解析：由 yx2，y28x，得 ky28y160，若 k0，则 y2；若 k0，则 0，即 6464k0 解得 k1，因此直线 ykx2 与抛物线 y28x 有且只有一个公共点，则 k0 或 k1.答案：D 3顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线经过点(3，2 3)，过焦点且倾斜角为 45的直线与抛物线交于 M、N 两点，则|MN|等于()A.13 B8 C16 D8 2 解析：设所求抛物线方程为 y22px(p0)，根据已知条件 126p，2p4，则所求抛物线方程为 y24x，|MN|2psin2458.答案：B 4P 是抛物线 y2x 上的点，F
3、是该抛物线的焦点，则点 P 到 F 与 P 到 A(3，1)距离之和的最小值是()A3 B.134 C4 D.72 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-2-解析：如图，作 AB 垂直于直线 x14垂足为 B，根据抛物线定义可以证明|AB|为|PF|PA|的最小值|AB|3(14)134.答案：B 二、填空题 5直线 ykx2 与抛物线 y28x 交于 A、B 不同两点，且 AB 的中点横坐标为 2，则 k 的值是_ 解析：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，由 ykx2，y28x，消去 y 得 k2x24(k2)x40，由题意得即 k2.答案：2 6若抛物线 y22px(p
4、0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为 10 和 6，则该点的横坐标是_ 解析：设所求点的坐标为(x0,6)，则 622p(10p2)，解得 p2 或 p18.当 p2 时，可求得 x09，当 p18 时，可求得 x01.答案：1 或 9 7以双曲线x216y291 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是_ 解析：由x216y291 知 a4，b3，c5，则右顶点为(4,0)，左焦点为(5,0)，则p29，即 2p36，所求抛物线方程为 y236(x4)答案：y236(x4)三、解答题 8过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，O 是抛物线的顶点 (1)求O
5、AOB；(2)过 F 的直线 l 交 y 轴于 Q 点，过 Q 点作 QT 垂直 FQ 交 x 轴于 T 点，延长 TQ 到 P 点，使|QP|TQ|，试判断点 P 是否在抛物线 y22px 上，并证明之 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-3-解答：(1)如图，设 A 点坐标是(y212p，y1)、B 点坐标是(y222p，y2)，可证 y1y2p2，OAOBy21y224p2y1y2p24p23p24.(2)证明：如图，设过 F 的直线 l 的方程为 yk(xp2)(k0)令 x0，则 ykp2，即 Q 点坐标为(0，kp2)直线 QT 的方程为 ykp2 1kx.令 y0
6、，则 xk2p2，即 T 点坐标为(k2p2，0)设 P 点坐标为(x0，y0)，则 x0k2p2，y0kp，y20k2p2,2px0k2p2，y202px0.即 P(x0，y0)在抛物线y22px 上 9过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 P、Q 两点，PQ 的垂直平分线交抛物线的对称轴于 R 点，求证：|FR|12|PQ|.证明：证法一：如图设抛物线方程为 y22px(p0)，则直线 PQ 的方程为 yk(xp2)，k0，设 P、Q 两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)由 y22px，yk(xp2)，得 k2x2p(k22)xk2p24 0，p2(k22)24k2k2p24 4p2k
7、24p2.且 x1x2p(k22)k2，x1x2p24，|PQ|1k2|x1x2|2p(1k2)k2.由x1x22p(k22)2k2，得y1y22k(x1x22p2)kp(k22)2k2p2 pk.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-4-线段 PQ 垂直平分线的方程为 ypk1kxp(k22)2k2，令 y0，得 xpp(k22)2k2，|FR|pp(k22)2k2p2p(1k2)k2.因此|FR|12|PQ|.证法二：设 P、Q 两点坐标为(y212p，y1)、(y222p，y2)由直线 PQ 过 F 点可证 y1y2p2，|PQ|(y212py222p)2(y1y2)2(y
8、1y2)22p，直线 PQ 的斜率为 y2y1y222py212p 2py1y2.线段 PQ 垂直平分线方程为 yy1y22y1y22p(xy21y224p)，令 y0，得 xpy21y224p，|FR|(py21y224p)p2y21y222p24p(y1y2)24p，则|FR|12|PQ|.证法三：如图，PQ 的中点为 M，过 P、Q、M 分别作 PP、MM、QQ垂直于抛物线的准线xP2，连结 MF、MP，由抛物线的定义得|MM|12(|PP|QQ|)12(|PF|QF|)12|PQ|MP|，MPMPMMPPM.又|PP|PF|，PM为PMP与PMF 的公共边，PMPPMF，则 MFPQ.
9、又 MRPQ，MFMR，又 MMFR，四边形 FRMM为平行四边形|FR|MM|12|PQ|.10.A、B 是抛物线 y22px(p0)上的两点，且 OAOB(O 为坐标原点)求证：(1)A，B 的横坐标之积为定值；(2)直线 AB 经过一定点 证明：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 y212px1，y222px2，又OAOB，x1x2y1y20，y21y224p2x1x2，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-5-将 y1y2x1x2代入，得 x21x224p2x1x2，由于 x1x20，x1x24p2，故 A，B 两点横坐标之积为定值 4p2.(2)y22y
10、21(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)，x1x2.y2y1x2x1 2py1y2，直线 AB 的方程为 yy1 2py1y2(xx1)，又由 x1y212p，得 y 2py1y2xy1 2py1y2y212p2py1y2x y1y2y1y2，由(1)y1y2x1x24p2代入，可得 y 2py1y2x 4p2y1y2 2py1y2(x2p)，所以直线 AB 过定点(2p,0)1抛物线 x22y 上离点 A(0，a)最近的点恰好是顶点的充要条件是()Aa0 Ba12 Ca1 Da2 解析：如图，设抛物线 x22y 上任意一点 P 点坐标为(x0，y0)，则 x202y0，|PA|2x20(
11、y0a)22y0(y0a)2 y202(1a)y0a2，y00，若 1a0，当 y00 时，取得最小值|PA|2mina2；若 1a0，当 y0a1 时，|PA|2取得最小值|PA|2min2a1.答案：C 2如图，M 是抛物线 y2x 上的一点，动弦 ME，MF 分别交 x 轴于 A、B 两点，且|MA|MB|.(1)若 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值；(2)若 M 为动点，且EMF90，求EMF 的重心 G 的轨迹方程 解答：(1)证明：设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)由|MA|MB|知：kMAkMB，即y1y0 x1x0y2y0 x2x0，高考资源网（
12、）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-6-由y1y0y21y20y2y0y22y20知 y1y22y0，kEFy2y1x2x1y2y1y22y211y2y112y0，因此直线 EF 的斜率为定值 (2)设 G(x，y)，则 xx0 x1x23y20y21y223 yy0y1y23，又 y1y22y0，EMF90，kME1，kMF1.y1y0 x1x01y1y01，则 y11y0 同理 y21y0 由消去 y1、y2、y0得 x3(3y)223，即 y23x227.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-7-高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-8-w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
