1、20202021学年第一学期期中考试高三年级数学试题分值：150分 时间：120分钟一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求，再求【详解】由已知得，所以，故选C【点睛】本题主要考查交集、补集的运算渗透了直观想象素养使用补集思想得出答案2. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3. i为虚数单位， 则的共轭复数为 （ ）A. 2-
2、iB. 2+iC. -2-iD. -2+i【答案】A【解析】试题分析：，则复数的共轭复数为；选A考点：1.复数运算；2.共轭复数；4. 将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数周期可得平移单位，由平移变换得新函数解析式【详解】函数的周期为，将函数的图象向左平移个周期即个单位，所得图象对应的函数为故选：B.【点睛】本题考查函数的周期，考查函数的图象平移变换函数向左平移个单位得图象的解析式为向右平移个单位得图象的解析式为5. 已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，
3、根据题意列出关于、的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【详解】设，其中，则.由题意得，解得，即.故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.6. 若，则函数（ ）A. 有最大值B. 有最小值2C. 有最大值D. 有最小值4【答案】D【解析】【分析】将变形为，再利用基本不等式求最值.【详解】，当且仅当，即时，等号成立，即函数有最小值4故选：D.【点睛】方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值
4、的局部结构，求最值时要关注取等条件的验证，考查学生的转化与划归能力与运算求解能力，属于基础题.7. 函数y=sin2x的图象可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复8. 已知是定义在R上的偶函数，且在
5、区间上单调递增若实数满足，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,选D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9. 下列式子运算结果为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】利用两角和与差的正弦，余弦，正切公式化简及特殊角的三角函数求值，即可判断选项.【详解】对于A，不合题意；对于B，符合题意；对于C，符合题意；对于D，不符合题意；故选：BC10. 下列四个条件中，p是q的充分条件的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】BD【解析】
6、【分析】利用特殊值判断A；利用作差法判断B；利用判断C；利用对数函数的单调性判断D.【详解】因为时， ，所以p不能推出q，p不是q的充分条件，A错；因为，所以p是q的充分条件，B对；因为，所以p不能推出q，p不是q的充分条件，C错；因为，所以p是q的充分条件，D对.故选：BD.11. 已知具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据选项中的函数解析式，结合，逐项运算、判定，即可求解.【详解】对于A中，函数，可得，又由，所以A正确；对于B中，函数，可得，又由，所以B不正确；对于C中，函数，可得，
7、又由，所以C不正确；对于D中，函数，当时，可得，所以；当时，可得，所以；当时，可得，所以，所以D正确.故选：AD.【点睛】对于函数的新定义试题的求解：1、根据函数的定义，可通过举出反例，说明不正确；2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解.12. 为数列的前n项和，若，则（ ）A. B. 是等差数列C. 是等比数列D. 【答案】ACD【解析】【分析】令可判断A；利用可得，可判断BC；求出，得到的值，可判断D.【详解】当时，A正确；因为，所以，化为所以数列是等比数列，首项，公比 ，故B错、C对；等比数列的通项公式为：，故D对.故选：ACD.【点睛】方法点睛：已知数列前项和，求
8、数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量，则向量，的夹角_【答案】【解析】【分析】根据以及，计算出、以及的值，然后通过即可计算出结果.【详解】令向量与的夹角为，由，所以，所以，故向量，的夹角为，故答案：.【点睛】关键点睛：本题考查向量的夹角的计算，解题的关键是熟悉向量的数量积公式，向量的模的计算以及数量积的坐标表示，考查计
9、算能力，属于基础题.14. 设等比数列满足，则公比_【答案】【解析】【分析】利用等比数列通项公式及已知条件计算可得【详解】由于数列是等比数列，故由，可得，两式作比可得：，解得，即.故答案为：15. 已知函数，则_；若，则_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据自变量范围代入分段函数对应解析式，计算求解即可；根据分段函数解析式列方程组，解得结果.【详解】或所以或，即故答案为：，【点睛】本题考查根据分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 已知是定义在R上的奇函数，并且，当时，则_【答案】1【解析】【分析】根据已知条件求出函数的周期，再结合函数的性质，把转化为，再利用奇函
10、数转化为，把代入即可求得结果.【详解】，令，故函数的周期为，为奇函数，由已知可知，故.因此，.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查函数奇偶性、周期性的综合性问题，解题的关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，考查学生的划归与转化能力及运算求解能力，属于中档题.四、解答题（本题共6小题，70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，（1）若，求、的值；（2）若的面积，求b，c的值【答案】（1）；（2），【解析】分析】（1）由，且，可得再利用正弦定理即可得出（2）由，解得，再利用余弦定理即可得出【详解】（1），且，由
11、正弦定理得，（2），由余弦定理得，【点睛】本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18. 记为等差数列的前n项和，已知，从以下两个条件中任选其中一个（1）（2）（1）求公差d及的通项公式；（2）求，并求的最小值及取最小值时的项数【答案】（1），；（2），最小值为，9.【解析】【分析】选条件（1），（1）设的公差为d，由题意得，结合，即可求得结果；（2）利用等差数列求和公式得，由二次函数性质知当时，取得最小值，最小值为选条件（2），（1）设的公差为d，由题意得，结合，即可求得结果； （2）利用等差数列求和公式得，由二次函数性质知
12、当时，取得最小值，最小值为【详解】选条件（1），（1） 设的公差为d，由题意得，即，又，得，故数列的公差，通项公式为（2）由（1）得所以当时，取得最小值，最小值为选条件（2），（1） 设的公差为d，由题意得，即，又，得，故数列的公差，通项公式为（2）由（1）得所以当时，取得最小值，最小值为19. 已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在处有极小值，求函数在区间上的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，求得函数的导数，得到，即可求解曲线在点处的切线方程；（2）由函数在处有极小值，求得，得到，根据导数的符号，求得函数的单调性，进而求得函数的最大值，得到答案.【详
13、解】（1）当时，函数，可得，可得又由，所以曲线在点处的切线方程，即.（2）由，可得，因为函数在处有极小值，可得，解得，此时，且，令，即，解得或，当或时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以函数在上单调递增，在区间上单调递减，所以，因为，所以函数的最大值为.【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.20. 已知函数已知函数（1）求函数最小值及取最小值时的x的集合；（2）求函数在上的单调增
14、区间【答案】（1）最小值，；（2），【解析】【分析】（1）化简，令,，进而求解即可；（2）令,，结果与求交集即可.【详解】（1）由题故当,，即,时，取得最小值，且所以函数的最小值是，此时x的集合为；（2）由（1）令,，则,所以在上单调递增,当时,单调增区间为；当时,单调增区间为；所以在中的单调增区间为和【点睛】方法点睛：函数的性质：(1) .(2)周期(3)由 求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.21. 在等比数列中，（1）求（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知条件，可得，即可求得；（2）由（1）知，利用错位相减法即可求数列的
15、前n项和.【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为，由已知，可得，解得， 所以（2）由（1）知， -得：【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式及数列求和，求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.22. 已知，函数在处取得极值.（1）求函数的单调区间；（2）若对，恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）首先对函数求导，根据函数在处取得极值，得到，求得，根据导数的符号求得其单调区间；（2）将不等式转化为，之后构造新函数，利用导数求得其最小值，进而求得最值，得到结果.【详解】，由得，（1），由得，由得，故函数在上单调递减，在上单调递增.（2），令，则，由，得，由，得，故在上递减，在上递增，即，故实数的最大值是.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据极值点求参数的值，利用导数求函数的单调区间，利用导数求参数的取值范围，属于中档题目.