1、高三数学第一轮复习专题 正弦、余弦函数的性质一、正弦、余弦函数的性质：1定义域： 2值域： 二次函数求最值方法：注意三个关键点。先看开口方向；再找对称轴位置（）；再看所在区间。题型：求三角函数值域和最值：1化为二次函数求值域和最值。（）规律：对于“非齐次式”，要化为二次函数求最值。例1求最大值。分析：本题要化为二次函数求最值，开口向下，对称轴为，所在区间为，故在处取得最大值，在处取得最小值。解：故当时，取得最大值；当时，取得最小值。例2求最值。例3求，求值域。2求一般形式的值域和最值。求一般形式在R上的最值及相应的x的集合。 一般形式或的研究：其本质是一个两层复合函数。必须从四个层次来把握一般
2、形式的值或范围：例1求下列函数的最大值及相应的x的集合。（1） （2）分析：当遇到与类型的三角函数时，需要用到“整体思维”。 即把看成一个整体。 规律：要从整体出发，“下求，上求”。解：（1）当，即时，取最大值3。故使取最大值时的x的集合为：。（2）分析：，故当时，取到最大值2，则整体。 解答如下：当时，取最大值2。故使取最大值时的x的集合为：。求一般形式在部分区间上的值域和最值及相应的x的值。（）例1，求f(x)最值及相应x的值。解： 两步四行 当，f(x)取得最大值1。当，f(x)取得最小值。 三步六行归纳：这种思路为“对整体进行数形结合分析”。过程：必须从四个层次来把握一般形式的值或范围
3、：例2已知函数，当，f(x)的最小值是-2，最大值是，求实数a,b的值。解： 因f(x)的最小值是-2，最大值是，求实数a,b的值。 。图象分析法：练1：，求的最大值与最小值及相应的值。练2. ，求的最大值与最小值及相应的值。3周期性： 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则称为周期函数，T称为的周期。注意： 指的是自变量本身加T。因， 因， 故均为与的周期，我们取最小的正数作为与周期的代表，称之为最小正周期。即与的最小正周期为。以后指的周期都是指最小正周期。例1求下列函数的周期：（1） （2）（3） （4）分析：可以根据、最小正周期为，化成形式，求T。解：（
4、2）因周期为。（3）因（4）因一般形式：故与的周期性研究：规律：周期减半 4单调性：注意：单调区间是定义域的一个子集，是x本身的范围。题型：求三角函数单调区间。1求R上的单调区间。（）例1求单调区间：（1） （2）（3） 解：（1）当，即，时，单调递增；当，时，单调递减。故单调递增区间为，单调递减区间为。（2）当，时，单调递增；当，时，单调递减。故单调递增区间为，单调递减区间为。注意：要保证x的系数永远为正。（3） 当，时，单调递减；当，时，单调递增。故单调递增区间为，单调递减区间为。2求部分区间上的单调区间。（）例1求函数的单调递增区间与递减区间。解：（方法一：“由大到小”，即先求出全部的增
5、减区间，再与取交集）当，时，单调递增；当，时，单调递减。又 的增区间为； 减区间为：。解：（方法二：整体思维，从整体出发，“三步走”的方法） 整体图象 当，单调递增；当，单调递减。故单调递增区间为，单调递减区间为。归纳：这种思路为“对整体进行数形结合分析”。过程：两种思路的比较：一般来说，用“三步走”的方法较为简单。例1。，则下列区间哪个是的单调增区间：（ ）A。 B。 C。 D。 ， 故A错误。例2.求的递增区间和递减区间。5奇偶性与对称性： 因故余弦函数的图象可由正弦函数的图象向左平移个单位得到。而对称轴与对称中心的间隔正好为，故正弦、余弦函数的对称轴与对称中心互换。规律总结：正弦、余弦函
6、数图象的对称轴与对称中心互换。题型：对称性的应用。1.对称轴方程与对称中心坐标：（）对于一般形式的三角函数，即或，可以从两个角度把握对称轴方程与对称中心坐标。对称轴方程对称中心坐标方法一般结论法代入法对称轴方程对称中心坐标方法一般结论法代入法 例1函数图象的一个对称中心是（ ）A B C D 解析：本题有两种方法：利用一般结论；即：，故一个对称中心为； 代入法：各选项代入，利用对称中心出现在中间点处判断，即：，故一个对称中心为。例2函数图象的一条对称轴方程是（ ）A B C D 解析：本题有两种方法：利用一般结论；即：，故一条对称轴方程是； 代入法：各选项代入，利用对称轴出现在最值处判断，即：
7、，故一条对称轴方程是。2是奇函数或偶函数求的取值问题。（）例。 故本来是奇函数，但在变为一般形式时，奇偶性可能会变为：奇函数、偶函数、非奇非偶函数三种可能。则是奇函数或偶函数时的取值规律如下： 。 解释：为奇函数，为偶函数。根据诱导公式的规律“奇变偶不变，符号看象限”，若为奇函数，说明正弦依然是正弦，函数名不变，故；若为偶函数，说明正弦变成了余弦，函数名改变，故。同理。例1函数是奇函数，则（ ）A B C D 解析：由题意得：，。例2图象关于y轴对称，则最小正值为（ ）A B C D 解析：由题意得：，故最小正值为。例3函数为偶函数，则的一个取值为（ ）A B C D 解析：由题意得：，故的一个取值为。练1。函数的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）A 关于点对称 B 关于点对称 C 关于直线对称 D 关于直线对称 练2。将函数的图象向左平移m(m0)个单位后关于y轴对称，则m的最小值为（ ）A B C D 版权所有：高考资源网()