1、幂函数与二次函数一、选择题1已知幂函数yf(x)的图象过点P(2,4)，则f(3)()A2B3C8D9D设f(x)x，则24，得2，所以f(x)x2，所以f(3)3292如图，对应四个幂函数的图象，其中对应的幂函数是()Ayx3 Byx2Cyx DyC由图知：表示y，表示yx，表示yx2，表示yx33若幂函数f(x)(m22m2)x在(0，)上是减函数，则实数m的值是()A1或3 B3C1 D0B因为幂函数f(x)(m22m2)x在(0，)上是减函数，所以由m22m21，得m1或m3，当m1时，m2m311310，所以m1舍去，当m3时，m2m393330，所以m3，故选B4已知函数yax2b
2、x1在(，0上是单调函数，则y2axb的图象不可能是()ABCDB当a0，b0时，y2axb的图象可能是A；当a0时，0b0，y2axb的图象可能是C；当a0时，0b0，y2axb的图象可能是D故选B5已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc，若f(0)f(4)f(1)，则()Aa0,4ab0 Ba0,4ab0Ca0,2ab0 Da0,2ab0A由f(0)f(4)，得f(x)ax2bxc图象的对称轴为x2，4ab0，又f(0)f(1)，f(4)f(1)，f(x)先减后增，于是a0，故选A6二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意的xR都有f(x)f(4x)成立，若f(12x2)f(12x
3、x2)，则实数x的取值范围是()A(2，) B(，2)(0,2)C(2,0) D(，2)(0，)C由题意知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x2，图象在对称轴左侧对应的函数为减函数又12x22,12xx22(x1)22，所以由f(12x2)f(12xx2)，得12x212xx2，解得2x0故选C二、填空题7已知幂函数f(x)x (mZ)的图象关于y轴对称，与x轴及y轴均无交点，则由m的值构成的集合是_1,1,3由幂函数f(x)与x轴及y轴均无交点，得m22m30，解得1m3，又mZ，即m1,0,1,2,3，f(x)x (mZ)的图象关于y轴对称，即函数为偶函数，故m22m3为偶数，所以m1
4、,1,38(2021广东深圳市二模)已知函数的图象关于y轴对称，且与直线yx相切，则满足上述条件的二次函数可以为f(x)_x2(答案不唯一)因为二次函数f(x)的图象关于y轴对称，所以可设f(x)ax2c，由得ax2xc0，所以14ac0，即ac取a1，c，则f(x)x2，(答案不唯一)9若关于x的方程x2xm0在1,1上有解，则实数m的取值范围是_法一：由x2xm0得mx2x，设f(x)x2x，则f(x)，当x1,1时，f(x)min，f(x)maxf(1)2，即f(x)2，m2法二：设f(x)x2xm，则f(x)m，因为方程f(x)0在1,1上有解，则解得m2三、解答题10已知函数f(x)
5、x2(2a1)x3(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值解(1)当a2时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴为x2,3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，函数f(x)的值域为(2)函数f(x)图象的对称轴为x当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a，满足题意；当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1，满足题意综上可知，a或111已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)f(2)3(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间2a，a1上不单调，求实数a的取值范围；(3)在
6、1,1上，yf(x)的图象恒在y2x2m1的图象上方，试确定实数m的取值范围解(1)f(x)是二次函数，且f(0)f(2)，函数f(x)图象的对称轴为直线x1又f(x)的最小值为1，故可设f(x)A(x1)21(A0)f(0)3，A13，解得A2，f(x)2(x1)212x24x3(2)要使f(x)在区间2a，a1上不单调，则2a1a1，解得0a(3)由已知得2x24x32x2m1在1,1上恒成立，化简得mx23x1设g(x)x23x1，则g(x)在区间1,1上单调递减，g(x)在区间1,1上的最小值为g(1)1，m11若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()
7、A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关B因为函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值、最小值在f(0)b，f(1)1ab，fb中取，所以Mm与a有关，但与b无关，故选B2已知函数f(x)ax22x2，若对一切x，f(x)0都成立，则实数a的取值范围为()A BC4，) D(4，)B由题意得，对一切x，f(x)0都成立，即a2对一切x都成立又2，则实数a的取值范围为3已知值域为1，)的二次函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且方程f(x)0的两个实根x1，x2满足|x1x2|2(1)求f(x)的表达式；(2)函数g(x)f(x)kx在区间1,2上的最大值为f(2)，最小值f(1)，求实数k的取值范围解(1)由f(1x)f(1x)可得f(x)的图象关于直线x1对称，设f(x)a(x1)2hax22axah(a0)，由函数f(x)的值域为1，)，可得h1，根据根与系数的关系可得x1x22，x1x21，所以|x1x2|2，解得a1，所以f(x)x22x(2)由题意得函数g(x)在区间1,2上单调递增，又g(x)f(x)kxx2(k2)x所以g(x)图象的对称轴为x，则1，解得k0，故实数k的取值范围为(，0