1、【基础训练】1.已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),则平面ABC的单位法向量为_.2.已知=（2,-1,3）, =(-4,2,x),且,则x=_;3.已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10)和D(8,4,9)，则四边形ABCD的形状_.4.当m=_,n=_时,其中=(2,2m-3,n+2), =(4,2m+1,3n-2).【重点讲解】1直线的方向向量与平面的法向量(1)直线l上的向量e(e0)以及与e共线的 向量叫做直线l的方向向量(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线 平面，那么称向量n垂直于平面，记作n.此时，我们把向量n叫做平面的
2、法向量 2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合) (2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或l (4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则 3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2 (2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l (3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2 【典例选析】例1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中
3、，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD. 例2.如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD. 例3.如图, 四棱锥P-ABCD中, PA平面ABCD, PB与底面所成的角为45, 底面ABCD为直角梯形, ABC=BAD=90, PA=BC=AD .(1)求证: 平面PAC平面PCD ; (2)棱PD上是否存在一点E , 使CE/平面PAB? 若存在, 请确定E点的位置; 若不存在, 请说明理由. 例4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB侧面BB1C1C,已知BC=1,=,=2, AB=. (1)求证：C1B平面A
4、BC;(2)试在棱CC1(不含点C、C1)确定一点E，使EAEB1;AA1B1C1ECB 【巩固迁移】1两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2，0,2)，则l1与l2的位置关系是_2已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为_3已知(2,2,1)， (4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为_4. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B上的点,F是AC上的点,且A1E=2EB,CF=2AF,则EF与平面A1B1CD的位置关系_.5.已知=(1,2,3),=(2,1,2), =(1,1,2),点M在直线OC上运动.当取最小值时,点M的坐标_.6如图, 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点,试问在棱BB1上是否存在点M，使得D1M平面EFB1?若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由。ACDA1BC1D1EFxyZBM 7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由
