1、利用导数解决函数的单调性问题一、选择题1已知函数f(x)x25x2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是()A和(1，)B(0,1)和(2，)C和(2，)D(1,2)C函数f(x)x25x2ln x的定义域是(0，)f(x)2x5，令f(x)0，解得0x或x2，故函数f(x)的单调递增区间是和(2，)2函数f(x)的导数为f(x)，对任意的正数x都有2f(x)xf(x)成立，则()A9f(2)4f(3)B9f(2)xf(x)，得xf(x)2f(x)0，又xf(x)2f(x)0，所以g(x)g(3)，即，即9f(2)4f(3)3(2021山东潍坊市高三二模)函数f(x)(x，0)(0，)的图象
2、大致是()ABCDB因为f(x)(x，0)(0，)，定义域关于原点对称，又f(x)f(x)，所以f(x)(x，0)(0，)为偶函数，函数图象关于y轴对称，所以排除A、D；f(x)，令g(x)xcos xsin x，则g(x)xsin x，所以当x(0，时g(x)0，所以g(x)xcos xsin x在x(0，上单调递减，又g(0)0，所以g(x)0在x(0，上恒成立，所以f(x)0在x(0，上恒成立，即函数f(x)在(0，上单调递减，排除C，故选B4设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A(1,2 B(4，)C(，2) D(0,3A因为f(x)x29l
3、n x，所以f(x)x(x0)，由x0，得0x3，所以f(x)在(0,3上是减函数，则a1，a1(0,3，所以a10且a13，解得1a25设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axb时，有()Af(x)g(x)f(b)g(b) Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x) Df(x)g(x)f(a)g(a)C令F(x)，则F(x)0，所以F(x)在R上单调递减又axb，所以又f(x)0，g(x)0，所以f(x)g(b)f(b)g(x)6若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A B1
4、，)C2，) D(，2C由f(x)kxln x知，f(x)k，因为f(x)在(1，)上单调递增，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即k0，则k在(1，)上恒成立，令g(x)，因为g(x)0在(1，)上恒成立，所以g(x)在(1，)上单调递减，则g(x)0时，ln xf(x)f(x)，且f(1)0，则使得(x29)f(x)0成立的x的取值范围是()A(3,0)(3，)B(，3)(3，)C(3,0)(0,3)D(，3)(0,3)A令g(x)f(x)ln x，则g(x)f(x)ln xf(x)0，所以g(x)在(0，)上为减函数，所以当0xg(1)f(1)ln 10，又ln x0，所以f(x)1时，
5、g(x)0，所以f(x)0，所以当x(0,1)(1，)时，f(x)0，又f(1)0时，f(x)0，因为f(x)为奇函数，所以x0，所以(x29)f(x)3或3x02(2021四川绵阳市高三二模)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f(x)，且f(0)0，f(x)cos xf(x)sin x0，则下列判断中正确的是()Af0Cff DffC令g(x)，x，则g(x)，因为f(x)cos xf(x)sin x0，所以 g(x)g，即，即ff，故A错误；f(0)0，所以g(0)0，所以g(x)0在上恒成立，因为ln，所以fg，所以，即ff，故C正确；又gg，所以，即ff，故D错误3设函数f(x)al
6、n x，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性解(1)由题意知a0时，f(x)，x(0，)此时f(x)，可得f(1)又f(1)0，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为x2y10(2)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上递减当a0时，0设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零
7、点，则x1，x2由x10，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)递减；x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)递增；x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)递减综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上递增；当a时，函数f(x)在(0，)上递减；当a0时，f(x)在，上递减，在上递增1f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)xf(x)0，且f(3)0，则不等式f(x)0的解集为()A(3,0)(3，) B(3,0)(0,3)C(，3)(3，) D(，3)(0,3)D设g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)，则当x0时，g(x)
8、0，g(x)在(，0)上单调递减，由f(x)是定义在R上的奇函数知g(x)xf(x)为偶函数，g(x)在(0，)上单调递增f(3)0，g(3)g(3)3f(3)0当x0时，若f(x)0，则g(x)0，0x3，当x0时，若f(x)0，则g(x)0，x3不等式f(x)0的解集为(，3)(0,3)，故选D2已知函数f(x)(xa)exax2a(a1)x(aR)，讨论f(x)的单调性解f(x)(xa)exexaxa(a1)x(a1)(exa)当a0时，exa0当x(，a1)时，f(x)0，f(x)为减函数；当x(a1，)时，f(x)0，f(x)为增函数当a0时，令f(x)0，得x1a1，x2ln a令
9、g(a)a1ln a，则g(a)1当a(0,1)时， g(a)0，g(a)为减函数；当a(1，)时，g(a)0，g(a)为增函数g(a)ming(1)0，a1ln a(当且仅当a1时取“”)当0a1或a1时，x(，ln a)，f(x)0，f(x)为增函数，x(ln a，a1)，f(x)0，f(x)为减函数，x(a1，)，f(x)0，f(x)为增函数当a1时，f(x)x(ex1)0，f(x)在(，)上为增函数综上所述，当a0时，f(x)在(，a1)上单调递减，在(a1，)上单调递增；当0a1或a1时，f(x)在(ln a，a1)上单调递减，在(，ln a)和(a1，)上单调递增；当a1时，f(x)在(，)上单调递增