1、函数的奇偶性与周期性一、选择题1下列函数是偶函数的是()Af(x)xcos x Bf(x)Cf(x)lg|x| Df(x)exexC对于A，定义域为R，f(x)xcos(x)xcos xf(x)，f(x)是奇函数；对于B，定义域为(，1)(1，)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数；对于C，定义域为(，0)(0，)，f(x)lg|x|lg |x|f(x)，f(x)是偶函数；对于D，定义域为R，f(x)exex(exex)f(x)，f(x)是奇函数2(2021全国乙卷)设函数f(x)，则下列函数中为奇函数的是()Af(x1)1 Bf(x1)1Cf(x1)1 Df(x1)1B选项A：因为函数f
2、(x)，所以f(x1)1112，当x1，1时，函数f(x1)1的值分别为0，4据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性选项B：因为函数f(x)，所以f(x1)111据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数为奇函数选项C：因为函数f(x)，所以f(x1)111，当x1，1时，函数f(x1)1的值分别为，0据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性选项D：因为函数f(x)，所以f(x1)111，当x1，1时，函数f(x1)1的值分别为，2据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数，故选B3(2021全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，
3、且f(1x)f(x)若f，则f()A B C DC因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)又f(1x)f(x)，所以f(2x)f1(1x)f(1x)f(1x)f(x)f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，fff故选C4(2021赤峰市高三二模)设奇函数f(x)的定义域为R，f为偶函数，当00且a1，所以a9已知函数f(x)，对xR满足f(1x)f(1x)，f(x2)f(x)，且f(0)1，则f(26)_1f(x2)f(x)，f(x)的周期为4，f(26)f(2)对xR有f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于x1对称，f(2)f(0)1，即f(26)1三、解答题10f
4、(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式解当x0时，x0，则f(x)2(x)23(x)12x23x1由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以当x0时，f(x)2x23x1因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)0综上可得f(x)的解析式为f(x)11设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有ff成立(1)证明yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值(3)若g(x)x2ax3，且y|f(x)|g(x)是偶函数，求实数a的值解(1)由ff，且f(x)f(x)，知f(3x)fff(x)f(x)，所以yf(x)是周期函数
5、，且T3是其一个周期(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，且f(1)f(1)2，又T3是yf(x)的一个周期，所以f(2)f(3)f(1)f(0)202(3)因为y|f(x)|g(x)是偶函数，且|f(x)|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数故g(x)x2ax3为偶函数，即g(x)g(x)恒成立，于是(x)2a(x)3x2ax3恒成立于是2ax0恒成立，所以a01已知函数f(x)ln(ex)ln(ex)，则f(x)是()A奇函数，且在(0，e)上是增函数B奇函数，且在(0，e)上是减函数C偶函数，且在(0，e)上是增函数D偶函数，且在(0，e)上是减函数A由得ex
6、e，即函数f(x)的定义域为(e，e)，又f(x)ln(ex)ln(ex)f(x)，因而f(x)是奇函数，又函数yln(ex)是增函数，yln(ex)是减函数，则f(x)ln(ex)ln(ex)为增函数，故选A2若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)()Aexex B(exex)C(exex) D(exex)D因为f(x)g(x)ex，所以f(x)g(x)f(x)g(x)ex，所以g(x)(exex)3设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，
7、求f(x)的解析式解(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,41已知函数f(x)log2(x)是奇函数，则a_，若g(x)则g(g(1)_1由f(x)log2(x)得x0，则a0，所以函数f(x)的定义域为R因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)log20，解得a1所以g(1)f(1)log2(1)0，g(g(1)212对于函数f(x)，若在定义域D内存在实数x0满足f(2x0)f(x0)，则称函数yf(x)为“类对称函数”(1)判断函数g(x)x22x1是否为“类对称函数”？若是，求出所有满足条件的x0的值；若不是，请说明理由；(2)若函数h(x)3xt为定义在(1,3)上的“类对称函数”，求实数t的取值范围解(1)是，且满足条件的x0为1g(x)(x1)2，设实数x0满足g(2x0)g(x0)，即(2x01)2(x01)2，解得x01，所以函数g(x)是“类对称函数”，且满足条件的x0为1(2)因为h(x)是“类对称函数”，所以存在x0(1,3)，使得3t(3t)，t(33)，设u3，则t，所以t的取值范围是