1、函数的奇偶性与周期性一、选择题1下列函数中，为偶函数的是() Ay(x1)2By2xCy|sin x|Dylg(x1)lg(x1)C对于A，函数图像关于x1对称，故排除A对于B，f (x)2xf (x)，函数不是偶函数对于C，f (x)|sin(x)|sin x|sin x|f (x)，因此函数是偶函数对于D，由得x1，函数的定义域为(1，)，定义域不关于原点对称，因此函数不是偶函数，故选C2函数f (x)的图像()A关于x轴对称B关于y轴对称C关于坐标原点对称D关于直线yx对称B因为f (x)3x3x，易知f (x)为偶函数，所以函数f (x)的图像关于y轴对称3设f (x)是定义在R上周期
2、为2的奇函数当0x1时，f (x)x2x，则f ()ABCDC由题意知f f f f ，故选C4如果奇函数f (x)在区间7，3上是减函数且最大值为5，那么函数f (x)在区间3，7上是()A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为5C由题意知，函数f (x)在区间3，7上是减函数且f (7)为最小值，又f (7)5，则f (7)f (7)5，故选C5(2021全国卷乙)设函数f (x)，则下列函数中为奇函数的是()Af (x1)1Bf (x1)1Cf (x1)1Df (x1)1B法一：因为f (x)，所以f (x1)，f (x1)对于A，F (x)f (x
3、1)11，定义域关于原点对称，但不满足F (x)F (x)；对于B，G(x)f (x1)11，定义域关于原点对称，且满足G(x)G(x)；对于C，f (x1)11，定义域不关于原点对称；对于D，f (x1)11，定义域不关于原点对称故选B法二：f (x)1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数yf (x)的图像向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图像对应的函数为yf (x1)1，故选B6已知函数f (x)为奇函数，则f (a)()A1B1C0D1C函数f (x)是奇函数，f (x)f (x)，则有f (1)f (1)，即1aa1，即2a2，得a1(符合题意)，f (x)f (1
4、)(1)2(1)0二、填空题7已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f (x)log2(x)，则f (f (2)_0f (2)f (2)log221，所以f (f (2)f (1)log2108已知f (x)是R上的偶函数，且当x0时，f (x)x2x1，则当x0时，f (x)_x2x1当x0时，x0，则f (x)(x)2(x)1x2x1，又f (x)是偶函数，所以f (x)f (x)x2x19已知函数f (x)x1，f (a)2，则f (a)_4法一：f (a)f (a)2f (a)2f (a)4法二：由已知得f (a)a12，即a3，所以f (a)a11314三、解答题1
5、0f (x)为R上的奇函数，当x0时，f (x)2x23x1，求f (x)的解析式解当x0时，x0，则f (x)2(x)23(x)12x23x1由于f (x)是奇函数，故f (x)f (x)，所以当x0时，f (x)2x23x1因为f (x)为R上的奇函数，故f (0)0综上可得f (x)的解析式为f (x)11已知函数f (x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f (x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，则x0，所以f (x)(x)22(x)x22x又f (x)为奇函数，所以f (x)f (x)，于是x0时，f (x)x22xx2mx，所以m2(2)要使f (
6、x)在1，a2上单调递增，结合f (x)的图像(如图所示)知所以1a3，故实数a的取值范围是(1，31已知函数f (x)ln(ex)ln(ex)，则f (x)是()A奇函数，且在(0，e)上是增函数B奇函数，且在(0，e)上是减函数C偶函数，且在(0，e)上是增函数D偶函数，且在(0，e)上是减函数A由得exe，即函数f (x)的定义域为(e，e)，又f (x)ln(ex)ln(ex)f (x)，因而f (x)是奇函数，又函数yln(ex)是增函数，yln(ex)是减函数，则f (x)ln(ex)ln(ex)为增函数，故选A2若定义在R上的偶函数f (x)和奇函数g(x)满足f (x)g(x)
7、ex，则g(x)()AexexB(exex)C(exex)D(exex)D因为f (x)g(x)ex，所以f (x)g(x)f (x)g(x)ex，所以g(x)(exex)3设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x2)f (x)当x0，2时，f (x)2xx2(1)求证：f (x)是周期函数；(2)当x2，4时，求f (x)的解析式解(1)证明：f (x2)f (x)，f (x4)f (x2)f (x)f (x)是周期为4的周期函数(2)x2，4，x4，2，4x0，2，f (4x)2(4x)(4x)2x26x8f (4x)f (x)f (x)，f (x)x26x8，即f
8、(x)x26x8，x2，41已知函数f (x)log2(x)是奇函数，则a_，若g(x)则g(g(1)_1由f (x)log2(x)得x0，则a0，所以函数f (x)的定义域为R因为函数f (x)是奇函数，所以f (0)log20，解得a1所以g(1)f (1)log2(1)0，g(g(1)212对于函数f (x)，若在定义域D内存在实数x0满足f (2x0)f (x0)，则称函数yf (x)为“类对称函数”(1)判断函数g(x)x22x1是否为“类对称函数”？若是，求出所有满足条件的x0的值；若不是，请说明理由；(2)若函数h(x)3xt为定义在(1，3)上的“类对称函数”，求实数t的取值范围解(1)是，且满足条件的x0为1g(x)(x1)2，设实数x0满足g(2x0)g(x0)，即(2x01)2(x01)2，解得x01，所以函数g(x)是“类对称函数”，且满足条件的x0为1(2)因为h(x)是“类对称函数”，所以存在x0(1，3)，使得3t(3t)，t(33)，设u3，则t，所以t的取值范围是