1、常州市武进区2015届高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1已知全集U=R，A=x|x0，B=x|x2，则集合U（AB）=x|0x2考点：交、并、补集的混合运算专题：函数的性质及应用分析：本题可以先求根据集合A、B求出集合AB，再求出集合（AB），得到本题结论解答：解：A=x|x0，B=x|x2，AB=x|x0或x2，U（AB）=x|0x2故答案为：x|0x2点评：本题考查了集合的并集运算和集合的交集，本题难度不大，属于基础题2函数y=sinxcosx的最小正周期是2考点：三角函数的周期性及其求法
2、专题：三角函数的图像与性质分析：利用二倍角的正弦公式可得函数f（x）=sinx，再根据函数y=Asin（x+）的周期性可得结论解答：解：函数y=sinxcosx=sinx，故函数的最小正周期是=2，故答案为：2点评：本题主要考查二倍角的正弦公式、函数y=Asin（x+）的周期性，属于基础题3已知向量与共线，则实数x的值为1考点：平面向量共线（平行）的坐标表示专题：平面向量及应用分析：根据向量平行的坐标表示，求出x的值即可解答：解：向量与共线，2（3x1）41=0，解得x=1；实数x的值为1故答案为：1点评：本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟记公式，以便进行计算，是基础题4ABC
3、中，角A，B的对边分别为a，b，则“AB”是“ab”的充要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：解三角形；简易逻辑分析：运用三角形中的正弦定理推导，判断答案解答：解：ABC中，角A，B的对边分别为a，b，ab，根据正弦定理可得：2RsinA2RsinB，sinAsinB，AB又AB，sinAsinB，2RsinA2RsinB，即ab，根据充分必要条件的定义可以判断：“AB”是“ab”的充要条件，故答案为：充要点评：本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题5已知f（sin+cos）=sin2，则的值为考点：
4、同角三角函数基本关系的运用专题：三角函数的求值分析：令sin+cos=t，可得 sin2=t21，t 可得f（t）=t21，从而求得 f（ ） 的值解答：解：令sin+cos=t，平方后化简可得 sin2=t21，再由1sin21，可得t 再由 f（sin+cos）=sin2，可得 f（t）=t21，f（）=1=，故答案为：点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，注意换元中变量取值范围的变化，属于基础题6设曲线y=axln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的概念及应用分析：根据导数的几何意义，即f（x0）表示曲线f（
5、x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算解答：解：y=axln（x+1）的导数，由在点（0，0）处的切线方程为y=2x，得，则a=3故答案为：3点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视7若sin（）=，则cos（+2）的值为考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数专题：计算题；三角函数的求值分析：首先运用的诱导公式，再由二倍角的余弦公式：cos2=2cos21，即可得到
6、解答：解：由于sin（）=，则cos（+）=sin（）=，则有cos（+2）=cos2（+）=2cos2（+）1=2（）21=故答案为：点评：本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式及运用，考查运算能力，属于中档题8ABC中，AB=AC，BC的边长为2，则的值为4考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：根据数量积的定义和三角函数判断求解解答：解：在ABC中，BC=2，AB=AC，设AB=AC=x，则2x2，x1，cosB=，所以=4xcosB=4x=4故答案为4点评：本题利用向量为载体，考察函数的单调性，余弦定理，三角形中的边角关系9若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位
7、，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是考点：函数y=Asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+2），再根据所得图象关于y轴对称可得2=k+，kz，由此求得的最小正值解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin2（x）+=sin（2x+2）关于y轴对称，则 2=k+，kz，即 =，故的最小正值为，故答案为：点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题10已知函数f（x）=，则f（）+f（
8、）+f（）+f（）=15考点：函数的值专题：函数的性质及应用分析：由f（x）+f（1x）=+=3，能求出f（）+f（）+f（）+f（）的值解答：解：f（x）=，f（x）+f（1x）=+=3，f（）+f（）+f（）+f（）=53=15故答案为：15点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用11函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，且x0时，xf（x）f（x），则不等式f（x）0的解集是x|3x0或x3考点：函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：本题可构造函数（x0），利用f（x）相关不等式得到函数g（x）的单调性，由函数f（x
9、）是的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性和图象的对称性，由f（3）=0得到函数g（x）的图象过定点，再将不等式f（x）0转化为关于g（x）的不等式，根据g（x）的图象解不等式，得到本题结论解答：解：记（x0），则当x0时，xf（x）f（x），当x0时，g（x）0，函数g（x）在（，0）上单调递减函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）是定义在R上的偶函数，函数g（x）的图象关于y轴对称，函数g（x）在（0，+）上单调递增f（3）=0，g（3）=，函数g（x）的图象过点（3，0）和（3，0）不等式f（x）0，xg（x）0，或，3x0或x3不等式f（x）0的解集是x|3x0或x3故答案为：x|3
10、x0或x3点评：本题考查了函数的奇偶性、对称性、导数和单调性，本题难度不大，属于基础题12如图，ABC中，延长CB到D，使BD=BC，当E点在线段AD上移动时，若，则t=的最大值是3考点：平面向量的基本定理及其意义专题：平面向量及应用分析：共线，所以存在实数k使，根据向量的加法和减法以及B是CD中点，可用表示为：，所以又可以用表示为：=，所以根据平面向量基本定理得：，=3k3，所以最大值是3解答：解：设=，0k1；又；t=3k，0k1；k=1时t取最大值3即t=的最大值为3故答案为：3点评：考查共线向量基本定理，向量的加法、减法运算，以及平面向量基本定理13已知函数f（x）=|x2+x2|，x
11、R若方程f（x）a|x2|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）考点：根的存在性及根的个数判断专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用分析：由y=f（x）a|x2|=0得f（x）=a|x2|，显然x=2不是方程的根，则a=|，令x2=t，则a=|t+5|有4个不相等的实根，画出y=|t+5|的图象，利用数形结合即可得到结论解答：解：方程f（x）a|x2|=0，即为f（x）=a|x2|，即有|x2+x2|=a|x2|，显然x=2不是方程的根，则a=|，令x2=t，则a=|t+5|有4个不相等的实根，画出y=|t+5|的图象，如右图：在4t1时，t+52+5=1则要使直线y=a和
12、y=|t+5|的图象有四个交点，则a的范围是（0，1），故答案为：（0，1）点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题14若函数f（x）=x2exax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（，2ln2）考点：利用导数研究函数的单调性专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：根据题意可得a2xex有解，转化为g（x）=2xex，ag（x）max，利用导数求出最值即可解答：解：函数f（x）=x2exax，f（x）=2xexa，函数f（x）=x2exax在R上存在单调递增区间，f（x）=2xexa0，即a2xex有解，令g（x）=2ex，g（x）=2ex=
13、0，x=ln2，g（x）=2ex0，xln2，g（x）=2ex0，xln2当x=ln2时，g（x）max=2ln22，a2ln22即可故答案为：（，2ln2）点评：本题考察了导数在解决函数最值，单调性，不等式成立问题中的应用，属于难题二、解答题：本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinBbcosA=0（1）求角A的大小；（2）若a=1，b=，求ABC的面积考点：正弦定理；余弦定理专题：解三角形分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，由sinB不为0求出tanA的值，即可确定出A的度数；（2）由余弦定理
14、列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积解答：解：（1）已知等式asinBbcosA=0，利用正弦定理化简得：sinAsinBsinBcosA=0，sinB0，tanA=，则A=30；（2）由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即1=3+c23c，解得：c=1或c=2，当c=1时，SABC=bcsinA=1=；当c=2时，SABC=bcsinA=2=点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键16（14分）已知函数f（x）=ax33x（1）求函数f（x）单调区间；（2）若在区间1，2上，f（x）4恒成
15、立，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题专题：导数的综合应用分析：（1）a=0时，函数是减函数；a0时，由f（x）=ax33x（a0）f（x）=3ax23=3（ax21），分a0与a0讨论，通过f（x）的符号即可求得函数f（x）的单调区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数解答：解：（1）a=0时，f（x）=3x，f（x）的单调减区间是R；当a0时，f（x）=ax33x，a0，f（x）=3ax23=3（ax21），当a0时，由f（x）0得：x或x，由f（x）0得：当a0时，由f（x）0得：，由f（x）0
16、得：x或x；当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（，），（，+）；函数f（x）的单调递减区间为（，），）；当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（，），函数f（x）的单调递减区间为（，），（，+）；（2）当a0时，由（1）可知，f（x）在区间1，2是减函数，由f（2）=4得，（不符合舍去），当a0时，f（x）=3ax23=0的两根x=，当，即a1时，f（x）0在区间1，2恒成立，f（x）在区间1，2是增函数，由f（1）4得a7；当，即时f（x）0在区间1，2恒成立f（x）在区间1，2是减函数，f（2）4，a（不符合舍去）；当1，即时，f（x）在区间1，是减函数，f（x）在区间，2是增函数；所
17、以f（）4无解综上，a7点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论对学生的能力要求较高，属于难题17（14分）某实验室某一天的温度（单位：C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=9t，t0，24）（1）求实验室这一天里，温度降低的时间段；（2）若要求实验室温度不高于10C，则在哪段时间实验室需要降温？考点：两角和与差的正弦函数专题：计算题；应用题；三角函数的求值分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）=92sin（），t0，24），利用正弦函数的单调减区间，即可得到；（2）由题意可得，令f（t）10时，不需要降温，运用正弦函数
18、的性质，解出t，再求补集即可得到解答：解：（1）f（t）=9t，t0，24），则f（t）=92（）=92sin（），令2k2k，解得24k+2t24k+14，k为整数，由于t0，24），则k=0，即得2t14则有实验室这一天里，温度降低的时间段为2，14；（2）令f（t）10，则92sin（）10，即有sin（），则，解得24k6t24k+10，k为整数，由于t0，24），则得到0t10或18t24，故在10t18，实验室需要降温点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题18（16分）在平面直角坐标系xOy中，
19、已知四边形OABC是等腰梯形，点，M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图（1）求OCM的余弦值；（2）是否存在实数，使，若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角专题：平面向量及应用分析：（1）由题意求得 、的坐标，再根据cosOCM=cos，=，运算求得结果（2）设，其中1t5，由，得，可得（2t3）=12再根据t1，）（，5，求得实数的取值范围解答：解：（1）由题意可得，故cosOCM=cos，=（2）设，其中1t5，若，则，即122t+3=0，可得（2t3）=12若，则不存在，若，则，t1，）（，5，
20、故点评：本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量垂直的性质，属于中档题19（16分）已知函数f（x）=x2+（x1）|xa|（1）若a=1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在2，3上的最小值为6，求实数a的值考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断专题：计算题；导数的综合应用分析：（1）化方程f（x）=1可化为x2+（x1）|x+1|=0，即2x21=0（x1）或1=0（x1），从而求解；（2）f（x）=x2+（x1）|xa|=，则，从而求a；（3）讨论a的不同取值，从而确定实数a的值解答：解：（1）若
21、a=1，则方程f（x）=1可化为x2+（x1）|x+1|=0，即2x21=0（x1）或1=0（x1），故x=或x=；（2）f（x）=x2+（x1）|xa|=，则若使函数f（x）在R上单调递增，则，则a1；（3）若a3，则f（x）=（a+1）xa，x2，3，则函数f（x）在2，3上的最小值为6，可化为2（a+1）a=6，则a=4；若1a3，则f（x）在2，3上单调递增，则2（a+1）a=6，则a=4无解，若a1，1，则f（x）=x2+（x1）|xa|在2，3上单调递增，则222（1+a）2+a=6，解得，a=0综上所述，a=0或a=4点评：本题考查了函数导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思
22、想，属于中档题20（16分）已知函数f（x）=lnxx+a有且只有一个零点，其中a0（1）求a的值；（2）若对任意的x（1，+），有（x+1）f（x）+x22x+k0恒成立，求实数k的最小值；（3）设h（x）=f（x）+x1，对任意x1，x2（0，+）（x1x2），证明：不等式恒成立考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理专题：计算题；证明题；选作题；导数的综合应用分析：（1）f（x）=1，则函数f（x）=lnxx+a在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，由题意，f（x）的最大值等于0，从而解出a；（2）化简（x+1）f（x）+x22x+k0为k2xxlnxlnx1，从而将
23、恒成立问题转化为求函数g（x）=2xxlnxlnx1在1，+）上的最值问题；利用导数可得g（x）=2lnx1=，再令m（x）=xxlnx1并求导m（x）=1lnx1=lnx，从而判断g（x）在（1，+）上的单调性，最终求出函数g（x）=2xxlnxlnx1在1，+）上的最值问题，则kg（1）=2001=1，从而求实数k的最小值；（3）化简h（x）=f（x）+x1=lnx，则对任意x1，x2（0，+）（x1x2），恒成立可化为对任意x1，x2（0，+）（x1x2），0恒成立；不妨没x1x2，则上式可化为（x1+x2）（lnx1lnx2）2（x1x2）0，从而令n（x）=（x1+x）（lnx1ln
24、x）2（x1x），进行二阶求导，判断n（x）在（x1，+）上的单调性，从而证明对任意x1，x2（0，+）（x1x2），不等式恒成立解答：解：（1）f（x）=1，则函数f（x）=lnxx+a在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，则若使函数f（x）=lnxx+a有且只有一个零点，则01+a=0，解得，a=1；（2）（x+1）f（x）+x22x+k0可化为（x+1）（lnxx+1）+x22x+k0，即k2xxlnxlnx1对任意的x（1，+）恒成立，令g（x）=2xxlnxlnx1，则g（x）=2lnx1=，令m（x）=xxlnx1，则m（x）=1lnx1=lnx，x（1，+），m（x）=
25、1lnx1=lnx0，则m（x）=xxlnx111ln11=0，则g（x）0，则g（x）在（1，+）上是减函数，则k2xxlnxlnx1对任意的x（1，+）恒成立可化为kg（1）=2001=1，则k的最小值为1；（3）证明：由题意，h（x）=f（x）+x1=lnx，则对任意x1，x2（0，+）（x1x2），恒成立可化为，对任意x1，x2（0，+）（x1x2），0恒成立；不妨没x1x2，则lnx1lnx20，则上式可化为（x1+x2）（lnx1lnx2）2（x1x2）0，令n（x）=（x1+x）（lnx1lnx）2（x1x），则n（x）=（lnx1lnx）（x1+x）+2=lnx1lnx+1，n（x）=+=，则当x（x1，+）时，n（x）0，则n（x）在（x1，+）上是减函数，则n（x）n（x1）=0，则n（x）在（x1，+）上是减函数，则n（x）n（x1）=0，则（x1+x2）（lnx1lnx2）2（x1x2）0，故对任意x1，x2（0，+）（x1x2），不等式恒成立点评：本题考查了函数的零点的个数的判断，同时考查了恒成立问题的处理方法，判断单调性一般用导数，本题用到了二阶求导及分化求导以降低化简难度，属于难题