1、函数模型及其应用一、选择题1如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数hf(t)的图象大致是()A BC DB函数hf(t)是关于t的减函数，故排除C，D，半缸水前，h的变化是越来越慢，半缸水后，h的变化是越来越快，故选B2(2021湖南衡阳市八中高三模拟)“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yeaxb(
2、a，b为常数)，若该果蔬在6 的保鲜时间为216小时，在24 的保鲜时间为8小时，那么在12 时，该果蔬的保鲜时间为()A72小时 B36小时C24小时 D16小时A当x6时，e6ab216；当x24时，e24ab8，则27，整理可得e6a，于是eb2163648，当x12时，ye12ab(e6a)2eb648723(2021北京朝阳区高三二模)某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量
3、是前一年的q倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的50%，则q的值至少为()A B C DC因为该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，所以2024年的生活垃圾为20424(万吨)；因为从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的q倍，所以2024年通过环保方式处理的生活垃圾量为5q4(万吨)，所以245q4240.5，解得：q故q的值至少为4某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单
4、位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A10.5万元 B11万元C43万元 D43.025万元C设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可获得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x10.5)20.110.5232因为x0,16且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元5一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t秒内的路程为st2米，那么，此人()A可在7秒内追上汽车B可在9秒内追上汽车C
5、不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为14米D不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为7米D已知st2，车与人的间距d(s25)6tt26t25(t6)27当t6时，d取得最小值7故选D6某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5千米处 B4千米处C3千米处 D2千米处A设仓库建在离车站x千米处，则y1，y2k2x，根据给出的初始数据可得k120，k20.8，两项费用之和为y0.8x8，当且仅当x5时
6、，等号成立二、填空题7某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为yalog2(x1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到_只300由题意知100alog2(11)a100，当x7时，可得y100log2(71)3008(2021广东深圳市高三模拟)冈珀茨模型(ykabt)是由冈珀茨(Gompertz)提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：yk0e1.4e0.125t(当t0时，表示2020年初的种群数量)，若m(mN*)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值
7、为_(ln 20.7)9为促进全民健身运动，公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡，每张360元，使用规定：不记名，每卡每次仅限1人，每天仅限1次公司共90名员工，公司领导打算组织员工分批去健身，除需购买若干张健身卡外，每次去俱乐部还要包租一辆汽车，费用是每次40元，如果要使每位员工健身10次，那么公司购买_张健身卡最合算10设购买x张健身卡，这项健身活动的总支出为y，则y40360x，即y36036027 200，当且仅当x，即x10时取等号，所以公司购买10张健身卡最合算三、解答题10如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE4米，CD6米为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE
8、内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上(1)设MPx米，PNy米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值解(1)如图，作PQAF于Q，所以PQ8y，EQx4，在EDF中，所以，所以yx10，定义域为x|4x8(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)xyx(x10)250，所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x10，所以当x4,8时，S(x)单调递增，所以当x8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米11为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过调查，生产某
9、小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润年销售收入固定成本流动成本)；(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元依题意得，当0x8时，P(x)10x5x26x5；当x8时，P(x)10x530所以P(x)(2)当0x8时，P(x)(x6)213，当x6时，P(x)取得最大值P(6)13；当x8时，P(x)10，所以P
10、(x)为减函数，当x8时，P(x)取得最大值P(8)由13可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元1(2021西安中学高三月考)良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足NN02 (N0表示碳14原有的质量)，经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约_年(参考数据：lg 20.3，lg 70.84，lg 30.48)6 876样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的
11、衰变规律满足NN02，由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，N02N0，即2，两边同时取以2为底的对数，得log23log271.2T1.25 7306 876年推测良渚古城存在的时期距今约6 876年2李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%(1)当x10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于
12、促销前总价的七折，则x的最大值为_(1)130(2)15(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为6080140(元)，总价达到120元，又x10，即顾客少付10元，所以需要支付130元(2)设顾客买水果的总价为a元，当0a120时，顾客支付a元，李明得到0.8a元，且0.8a0.7a，显然符合题意，此时x0；当a120时，则0.8(ax)0.7a恒成立，即xa恒成立，xmin，又a120，所以min15所以x15综上可知，0x15所以x的最大值为153某种出口产品的关税税率为t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p2，其中k，b均为常数当关税税率t75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件(1)试确定k，b的值；(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x(单位：千元)近似满足关系式：q2x，当pq时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值解(1)由已知得：解得b5，k1(2)当pq时，22x，所以(1t)(x5)2xt11而f(x)x在(0,4上单调递减，所以当x4时，f(x)有最小值，故当x4时，关税税率的最大值为500%