1、11命题及其关系1.了解命题的概念，并会判断真假2.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义3会判断简单命题条件与结论之间的关系1命题能够判断真假的语句叫做命题2命题真假的判断判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题3命题的结构命题的常见形式是“如果，那么”，可记为“若p则q”，其中p是命题的条件，q是命题的结论4充分条件与必要条件命题真假“若p则q”是真命题“若p则q”是假命题推出关系pqp q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件5.充要条件(1)推出关系：pq，且qp，记作pq(2)简称：p是q的充分必要条件，简称充要条件(3)意义：pq
2、，则p是q的充要条件或q是p的充要条件，即p与q互为充要条件1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题()(3)q不是p的必要条件时，“p q”成立()答案：(1)(2)(3)2下列命题是真命题的是()A所有素数都是奇数B若ab，则a6b6成立C对任意的xN，都有x3x2成立D方程x2x10有实根答案：B3已知向量a(x1，2)，b(2，1)，则ab的充要条件是()AxBx1Cx5 Dx0答案：D命题的结构及真假判断把下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断命题的真假(1)奇数不能被2整除；(2)
3、当(a1)2(b1)20时，ab1；(3)已知x、y为正整数，当yx1时，y3，x2.【解】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题(2)若(a1)2(b1)20，则ab1，是真命题(3)已知x、y为正整数，若yx1，则y3且x2，是假命题(1)将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则(2)命题改写中的注意点若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而再写成“若p，则q”的形式 1.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假(1)6是12和18的公约数；(2)当a1时，方程ax22x10有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分
4、；(4)已知x，y为非零自然数，当yx2时，y4，x2.解：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题(2)若a1，则方程ax22x10有两个不等实根，是假命题(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题(4)已知x，y为非零自然数，若yx2，则y4，x2，是假命题充分、必要、充要条件的判断下列各题中，p是q的什么条件(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)?(1)p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形；(2)p：x1或x2，q：x1；(3)在ABC中，p：A60，q：sin A；(4)p：m0，q：方程x2xm0有实根【解】(1)因为四边形对
5、角线互相平分 四边形是矩形；四边形是矩形四边形对角线互相平分，所以p是q的必要不充分条件(2)因为x1或x2x1；x1x1或x2，所以p是q的充要条件(3)因为在ABC中，A60 sin A；在ABC中，sin AA60，所以p是q的必要不充分条件(4)因为m0方程x2xm0的14m0，即方程有实根；方程x2xm0有实根，即14m0 m0.所以p是q的充分不必要条件判断充分条件、必要条件和充要条件的基本思路(1)首先分清条件是什么，结论是什么；(2)然后尝试用条件推结论，再用结论推条件；(3)最后指出条件是结论的什么条件 2.判断下列各题中p是q的什么条件？(1)p：，q：cos ；(2)在A
6、BC中，p：ab，q：sin Asin B；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形解：(1)因为cos ，cos ，所以p是q的充分不必要条件(2)因为由正弦定理，知absin Asin B，sin Asin Bab，所以p是q的充要条件(3)因为四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形 四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件充要条件的证明设a、b、c为ABC的三边，求证：x22axb20与x22cxb20有公共根的充要条件是A90.【证明】充分性：因为A90，所以a2b2c2，于是方程x22axb20可化为x22axa2c20，x22ax(ac)
7、(ac)0，所以x(ac)x(ac)0，所以该方程有两个根x1(ac)，x2(ac)，同样，另一方程x22cxb20也可化为x22cx(a2c2)0，x22cx(ac)(ac)0，所以x(ca)x(ca)0，所以该方程有两个根x3(ac)，x4(ca)，可以发现x1x3.所以这两个方程有公共根必要性：设是方程的公共根，则由得：(ac)，将(ac)代入并整理可得：a2b2c2，所以A90.综上所述，x22axb20与x22cxb20有公共根的充要条件是A90.充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则
8、p”为真(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论 3.已知数列an的前n项和为Snpnq(p0，且p1)求证：数列an为等比数列的充要条件为q1.证明：充分性：当q1时，a1p1；当n2时，anSnSn1pn1(p1)，当n1时也成立所以anpn1(p1)，nN*.又p，所以数列an为等比数列必要性：当n1时，a1S1pq；当n2时，anSnSn1pn1(p1)因为p0，且p1，an为等比数列，所以p.所以p，即p1pq，所以q1.综上所述，q1是数列an为等比数列的充要条件充分条件、必要条件、
9、充要条件的应用已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围【解】p：2x10，q：1mx1m(m0)因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10，故有或，解得m3.又m0，所以实数m的取值范围为m|0m3若不等式p、q对应的数集分别为P、Q，当PQ时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，这可以用“小范围推出大范围”帮助记忆：“小充分，大必要”；当PQ时，则p、q互为充要条件 4.(1)已知p：4xa4，q：(x2)(x3)0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为_(2)若p：x2x60是q：ax10的必要不充分条
10、件，则实数a的值为_解析：(1)化简p：a4xa4，q：2x3，由于q是p的充分条件，故有解得：1a6.(2)p：x2x60，即x2或x3.q：ax10，当a0时，方程无解；当a0时，x.由题意知p q，qp，故a0舍去；当a0时，应有2或3，解得a或a.综上可知，a或a.答案：(1)1，6(2)或1充分条件与必要条件的两点说明(1)p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”(2)q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立2充要条件的两点说明(1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定
11、成立；p不成立，则q一定不成立”(2)p是q的充要条件，则q也是p的充要条件3从集合角度看充分、必要条件(1)依据设Ax|p(x)，Bx|q(x)若x具有性质p，则xA；若x具有性质q，则xB.如果AB，就是说x具有性质p，则x必具有性质q，即pq.类似地，BA与qp等价，AB与pq等价(2)结论如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表记法Ax|p(x)，Bx|q(x)关系ABBAAB A B且BA图示结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p，q互为充要条件p是q的既不充分也不必要条件一元二次方程ax22x10(a0)有一个正根和一个负根的充要条件是_【解析
12、】因为一元二次方程ax22x10(a0)有一正根和一负根所以即a0.【答案】a0这一条件(2)正确区分各种条件的关系是解答此类问题的关键1“tan 1”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.若tan 1，则k(kZ)，对应集合A，而对应集合B.显然B是A的真子集，所以“tan 1”是“”的必要不充分条件2若“xm”是“(x1)(x2)0”的充分不必要条件，则m的取值范围为_答案：m13指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)(1)p：ABC中，b2a2c2，q：ABC为钝角三角形
13、；(2)p：ABC中有两个角相等，q：ABC是正三角形；(3)若a，bR，p：a2b20，q：ab0.解：(1)ABC中，因为b2a2c2，所以cos B0，所以B为钝角，即ABC为钝角三角形；反之若ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2a2c2.所以pq，q p，故p是q的充分不必要条件(2)有两个角相等不一定是正三角形，反之一定成立，所以p q，qp，故p是q的必要不充分条件(3)若a2b20，则ab0，即pq，若ab0，则a2b20，即qp，所以p是q的充要条件 A基础达标1下列说法正确的是()A命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B语句“标准大气压下，100 时水沸
14、腾”不是命题C命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D语句“当a4时，方程x24xa0有实根”是假命题解析：选D.对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明故选D.2命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A这个四边形的对角线互相平分B这个四边形的对角线互相垂直C这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D这个四边形是平行四边形解析：选C.把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确故选C.3“a1”是“直线ax3y30与直
15、线x(a2)y10平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C.由两直线平行，可得，解得a1；当a1时，两直线的方程分别为x3y30和x3y10，可知两直线平行故“a1”是“直线ax3y30与直线x(a2)y10平行”的充要条件4已知a，b是实数，则“|ab|a|b|”是“ab0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.因为|ab|a|b|a22abb2a22|ab|b2|ab|abab0，而由ab0不能推出ab0，由ab0能推出ab0，所以由|ab|a|b|不能推出ab0，由ab0能推出|ab|a|b|
16、，故选B.5设a、b都是非零向量下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|解析：选C.对于A，当ab时，；对于B，当ab时，与可能不相等；对于C，当a2b时，；对于D，当ab且|a|b|时，可能有ab，此时.综上所述，使成立的充分条件是a2b.6设，为平面，m，n，l为直线，则对于下列条件：，l，ml；m，；，m；n，n，m.其中为m的充分条件的是_(将正确的序号都填上)解析：，l，mlm；m，m；，与可能相交也可能平行，故，mm；由n，n得，又m，所以m.答案：7“m”是“直线(m2)x3my10与直线(m2)x(m2)y30相互垂直”的_条件解析：当m
17、时，两直线斜率乘积为1，从而可得两直线垂直，故原命题为真而当m2时两直线一条斜率为0，一条斜率不存在，但两直线仍然垂直，所以其逆命题为假答案：充分不必要8设p：x1；q：(xa)(xa1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：因为q：axa1，p是q的充分不必要条件，所以或解得0a.答案：9下列各题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？(1)p：c0，q：抛物线yax2bxc(a0)过原点；(2)p：x1且y1，q：xy2且xy1；(3)p：0x3，q：|x1|2.解：(1)c0抛物线yax2bxc(a0)过原点；抛物线yax2bxc(a0)过原点c0.故p是q的充要条件
18、，q是p的充要条件(2)x1且y1xy2且xy1；而xy2且xy1 x1且y1.故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件(3)0x3|x1|2，|x1|21x3 0x3.故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件10求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.证明：充分性：因为abc0，即a(1)2b(1)c0，所以1是ax2bxc0的一个根必要性：因为ax2bxc0有一个根为1，所以a(1)2b(1)c0，即abc0.综上可得ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.B能力提升1下面四个条件中，使ab成立的充分不必要条件是()Aab1 Bab1Ca2
19、b2 Da3b3解析：选A.由ab1b，从而ab1ab；反之，如a4，b3.5，则43.5 43.51，故ab ab1，故A正确2设nN*，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_解析：由题意得x2，因为x是整数，即2为整数，所以为整数，且n4，又因为nN*，取n1，2，3，4，验证可知n3，4符合题意；反之n3，4时都可推出一元二次方程x24xn0有整数根答案：3或43求证：“a2b0”是“直线ax2y30和直线xby20互相垂直”的充要条件证明：充分性：当b0时，如果a2b0，那么a0，此时直线ax2y30平行于x轴，直线xby20平行于y轴，它们互相垂直；当b0时，直线ax2y3
20、0的斜率k1，直线xby20的斜率k2，如果a2b0，那么k1k21，两直线互相垂直必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k1k21，所以a2b0；若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b0，且a0.所以a2b0.综上，“a2b0”是“直线ax2y30和直线xby20互相垂直”的充要条件4(选做题)设函数ylg(x24x3)的定义域为A，函数y，x(0，m)的值域为B.(1)当m2时，求AB；(2)若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数m的取值范围解：(1)由题意得x24x30，解得1x3，所以A(1，3)，又函数y在区间(0，m)上单调递减，所以y，即B，当m2时，B，所以AB(1，2)(2)首先要求m0，因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，所以BA，即(1，3)，从而1，解得0m1.