1、两条直线的位置关系一、选择题1(2021四川绵阳高三期末)已知直线l1：x2y10，l2：2x4y10，则l1，l2的位置关系是()A垂直 B相交 C平行 D重合C由l1：yx，l2：yx知，这两条直线的斜率相等截距不等，即l1，l2平行，故选C2(2021四川省资阳中学高三月考)若直线l1：(a2)x(1a)y30与l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直，则a的值为()A1 B1 C1 DC因为直线l1：(a2)x(1a)y30与l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直，所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0，得a21，解得a1，故选C3(2021六安一中高三期末)若直线xym0与直线m
2、xy40平行，则它们之间的距离为()A2 B C DC直线xym0与直线mxy40平行，则m0，且，求得m1，两直线即为直线xy10与直线xy40，它们之间的距离为，故选C4若直线l1：x3ym0(m0)与直线l2：2x6y30的距离为，则m()A7 B C14 D17B直线l1：x3ym0(m0)，即2x6y2m0，因为它与直线l2：2x6y30的距离为，所以，求得m5一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线l：xy10上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是()A B2 C3 D4B点(0,0)关于直线l：xy10的对称点为(1,1)，则最短路程为26若三条直线y
3、2x，xy3，mxny50相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A B C2 D2A联立解得把(1,2)代入mxny50可得，m2n50m52n点(m，n)到原点的距离d，当n2，m1时取等号点(m，n)到原点的距离的最小值为二、填空题7点(0,2)到直线yk(x2)距离的最大值为 2因为直线yk(x2)显然过定点(2,0)，即A(2,0)，B(0,2)，连接AB，若ABl，则点(0,2)到直线yk(x2)的距离为d|AB|2；若AB不垂直l，则点(0,2)到直线yk(x2)的距离d必小于|AB|，综上，点(0,2)到直线yk(x2)距离的最大值dmax|AB|28点A(3，4
4、)与点B(1,8)关于直线l对称，则直线l的方程为 x3y50由A(3，4)，B(1,8)得：kAB3且AB中点M坐标为(1,2)，A和B关于直线l对称，kABkl1且M在l上，kl，l的方程为：y2(x1)，即x3y509已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是 x2y30当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大因为A(1,1)，B(0，1)，所以kAB2，所以两平行直线的斜率为k，所以直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30三、解答题10已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为
5、2xy50，AC边上的高BH所在直线的方程为x2y50，求直线BC的方程解依题意知kAC2，A(5,1)，所以直线AC的方程为2xy110，联立直线AC和直线CM的方程，得所以C(4,3)设B(x0，y0)，AB的中点M为，代入2xy50，得2x0y010，所以所以B(1，3)，所以kBC，所以直线BC的方程为y3(x4)，即6x5y9011(2021河南三门峡高三月考)已知点A(0,4)与点B关于直线l0：x2y30对称(1)求B点的坐标；(2)一条光线沿直线l：xy40入射到直线l0后反射，求反射光线所在的直线方程解(1)设B(a，b)，则解得 所以B(2,0)(2)设反射光线所在的直线为
6、l，因为点A在直线l上，所以点B在l上设l与l0的交点为P联立方程解得所以P反射光线所在的直线即为直线BP，其方程为y(x2)，整理得y7x141数学家欧拉1765年在其所著的三角形几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为xy20，则顶点C的坐标是()A(4,0) B(0，4)C(4,0) D(4,0)或(4,0)A设C(m，n)，由重心坐标公式，得ABC的重心为，代入欧拉线方程得20，整理得mn40，易得AB边的中点为(1,2)，kAB2，AB的垂直平分线的方程为y2(x1)，即x2y3
7、0由解得ABC的外心为(1,1)，则(m1)2(n1)2321210，整理得m2n22m2n8联立解得m4，n0或m0，n4当m0，n4时，点B，C重合，应舍去，顶点C的坐标是(4,0)故选A2(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx(x0)上的一个动点，则点P到直线xy0的距离的最小值是 4由yx(x0)，得y1，设斜率为1的直线与曲线yx(x0)切于(x0，x0)(x00)，由1 1，解得x0(x00)曲线yx(x0)上，点P(，3)到直线xy0的距离最小，最小值为43在ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x2y10，A的平分线所在直线的方程为y0若点B的坐标为(1,2)，求：(1)点A和点C的坐标；(2)ABC的面积解(1)由方程组解得点A(1,0)又直线AB的斜率为kAB1，且x轴是A的平分线，故直线AC的斜率为1，所以AC所在的直线方程为y(x1)已知BC边上的高所在的直线方程为x2y10，故直线BC的斜率为2，故BC所在的直线方程为y22(x1)解方程组得点C的坐标为(5，6)(2)因为B(1,2)，C(5，6)，所以|BC|4，点A(1,0)到直线BC：y22(x1)的距离为d，所以ABC的面积为412