1、四川省凉山州冕宁中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理第卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知命题p：“x0R，x010”，则命题p的否定为()Ax0R，x010 Bx0R，x010CxR，exx10 DxR，exx102函数的导数是（ ）A0BCD不确定3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是 ()A1 B C D4. 与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为( )A B C D5从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么
2、互斥而不对立的两个事件是()A至少有1个白球；都是白球 B恰有1个白球；恰有2个白球C至少有1个白球；至少有1个红球 D至少有1个白球；都是红球6.平面的斜线l与它在这个平面上的射影l的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面所成的角为()A.30B.45C. 90D. 607.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A(表示事件B的对立事件)发生的概率为() A. B. C. D.8四面体中，分别是的中点，是的三等分点（靠近N），若， ，则（ ）ABC D9.函数的单调递减区间为（
3、 ）A. B. C. D.10函数的图像如图所示，则关于函数的说法正确的是（ ）A函数有3个极值点B函数在区间上是增函数C函数在区间上是增函数D当时，函数取得极大值11.甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，则两人能会面的概率为（ ）AB C D12已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 （ ）A B C D第卷（非选择题，共90分）二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在边长为2的正方形内任取一点，则该点到正方形中心的距离不大于1的概率为_.14设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是_.15已知，函数 在是单调递增函数，则
4、的最大值是_16若函数在区间（-1，1）上存在减区间，则实数的取值范围是_三、 解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17（10分）命题：函数有意义；命题：实数满足.（1）当且为真时，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18.（12分）某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:10,20),20,30),30,40),40,50),50,60),60,70),70,80,得到如图所示的频率分布直方图.(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;(2)若从样本中年龄在50,70)的居民中任取2
5、人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率;已知该小区年龄在10,80内的总人数为2 000,若18岁以上(含18岁)为成年人,试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.19.（12分）已知函数，且f(x)在处的切线为（1）求a的值；（2）求函数f(x)在区间3,3上的最大值和最小值20（12分）如图，四棱锥中，四边形是边长为4的菱形，是上一点，且，设（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值21.（12分）已知椭圆的长轴长与焦距分别为方程的两个实数根。（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线过点且与椭圆相交于两点，是椭圆的左焦点，当面积最大时，求直线的斜率。22（12分）已知函数
6、（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若，求证：；（3）设，是否存在唯一的自然数，使得与的图象在区间上有两个不同的公共点？若存在，试求出的值，若不存在，请说明理由冕宁中学 20202021 学年度下期高 2022 届半期考试高二理科数学 参考答案一、选择题CADAB DCBDC AB二、填空题13. 14. 15. 6 16.三、解答题17.解：(1)若命题为真，则，解得，当时，命题，若命题为真，则，解得，所以，因为为真，所以，均为真，所以，所以，所以实数的取值范围为(2) 因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，所以，所以或，所以，所以实数的取值范围是18.解：(1)平均数的估计值=1
7、50.15+250.2+350.3+450.15+550.1+(65+75)0.05=37.前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3=0.65,故中位数落在第3组,设中位数的估计值为x,则(x-30)0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位数的估计值为35.（2）样本中,年龄在50,70)的共有400.15=6(人),其中年龄在50,60)的有4人,设为a,b,c,d,年龄在60,70)的有2人,设为x,y.则从中任选2人的样本空间=(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(c,d),(c,x),(c,y),
8、(d,x),(d,y),(x,y),共包含15个样本点.记A为“至少有1人年龄不低于60岁”,则A=(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y),共包含9个样本点.记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A,故所求概率P(A)=.样本中年龄在18岁以上的居民所占频率约为1-(18-10)0.015=0.88,故可以估计,该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2 0000.88=1 760.19.解：（1）由已知，又在处的切线为，故，；（2）由，可得，解得，列表如下：，20解：（1）证明：四边形是菱形，是的中点，平面平面，是的中点，平面，平面，平面5分（2）解：由（1）知平面，两两互相垂直以为原点，以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示设，四边形是菱形，和都是等边三角形，即7分，设平面的法向量为，则令，得，9分设平面的法向量为，则，令，得，设二面角的平面角为，结合图象可知，二面角的八弦值为12分22.解：（1）因为，所以；因为，所以切线方程为，即；（2）设，即，令，则或，随变化情况如下表：极小值故=，故，（3）由于，设，随变化情况如下表：极大值极小值由表可知，因为，所以在，分别有唯一零点，所以在内有两个零点，在，内无零点，内有唯一零点所以存在唯一的自然数，使得与的图象在上有两个不同公共点